Το "κόλπο"

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το "κόλπο"

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am

Το  _κόλπο_.png
Το _κόλπο_.png (13.14 KiB) Προβλήθηκε 825 φορές
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Το "κόλπο"

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Ιουν 30, 2018 11:26 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:

\boxed{ KN=2,5} παρακάτω δίνω την πλήρη λύση.
To κόλπο.png
To κόλπο.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 818 φορές
τελευταία επεξεργασία από nikkru σε Κυρ Ιούλ 01, 2018 12:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3330
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Το "κόλπο"

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Σάβ Ιουν 30, 2018 8:18 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:
shape.png
shape.png (23.95 KiB) Προβλήθηκε 763 φορές
Παίρνω BE = 3 και ME = MD = 2x. Τότε το ADBE είναι παραλληλόγραμμο και έστω DNT \bot EC

Από τον τύπο του Ήρωνα έχουμε (ABC) = 27, συνεπώς AS = DT = 6

Από Μενέλαο στο  \triangleleft MEC, με διατέμνουσα την DNT, παίρνουμε k = ET = 8

Έτσι, από Πυθαγόρειο, DE = 4x = 10 \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
nikkru
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Το "κόλπο"

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Ιούλ 01, 2018 12:32 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:
.
Έστω T το συμμετρικό του M ως προς το B.

Τότε το K είναι βαρύκεντρο του τριγώνου CMT (αφού CK=2KB) με συνέπεια η διάμεσος TN να διέρχεται από το K.

Με διαδοχικές εφαρμογές του 1ου θ.διαμέσων στα τρίγωνα ABC,CMT βρίσκουμε ότι CM=\sqrt{73}, CT=\sqrt{109}, TN=7,5

οπότε \boxed{ KN=2,5 }.
To κόλπο.png
To κόλπο.png (10.46 KiB) Προβλήθηκε 728 φορές


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Το "κόλπο"

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Ιούλ 01, 2018 2:19 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:

Είναι, \displaystyle AL//MK και \displaystyle NL//MK \Rightarrow A,N,L συνευθειακά

Αν \displaystyle NL = x,τότε \displaystyle MK = 2x \Rightarrow AL = 4x κι αν \displaystyle AP//NK,εύκολα \displaystyle AP = 4y,BP = 6

Με stewart στο \displaystyle \vartriangle ACP παίρνουμε \displaystyle AP = 4y = 10 \Rightarrow \boxed{y = \frac{5}{2}}
το κόλπο.png
το κόλπο.png (15.72 KiB) Προβλήθηκε 714 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1448
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Το "κόλπο"

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιούλ 01, 2018 3:00 am

Καλό μήνα! Χαιρετώ τους φίλους !
Κόλπο .. KARKAR.PNG
Κόλπο .. KARKAR.PNG (7.74 KiB) Προβλήθηκε 709 φορές
Παίρνω από αναρτήσεις πριν ( με την καλή έννοια της .. :) .. αντιγραφής ) \left ( BAC \right )=27 και NC^{2}=\dfrac{73}{4}
Είναι \left ( BAC \right )=6\left ( KNC \right ) 
άρα \left ( KNC \right )=\dfrac{9}{2} 
οπότε ύψος NI=3/2.

Με το Π.Θ στα τρίγωνα NIC και NIK προκύπτουν IC=4\Rightarrow   IK=2 και τελικά KN=5/2.
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το "κόλπο"

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 01, 2018 7:55 am

Καλό Μήνα!
colpo grosso.png
colpo grosso.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 694 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στο ABC βρίσκω \displaystyle \cos B = \frac{1}{{\sqrt {10} }}. Έστω P το μέσο της BC. Είναι \displaystyle KP = \frac{3}{2},NP = \frac{{\sqrt {10} }}{2}

Με νόμο και πάλι συνημιτόνων στο NKP παίρνω \boxed{NK=\frac{5}{2}}


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3330
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Το "κόλπο"

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Ιούλ 01, 2018 8:31 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Υπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:
Καλημέρα και καλό μήνα!
Βελτιώνω την αρχική μου λύση...χωρίς λόγια...
shape2.png
shape2.png (20.75 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
nikkru
Δημοσιεύσεις: 340
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Το "κόλπο"

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Ιούλ 01, 2018 11:40 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:
Άλλη μια λύση με χρήση νόμου συνημιτόνων στα τρίγωνα CMB και CNK ( με ελάχιστη "πονηριά" ) :

\frac{CM^2+CB^2-MB^2}{2CB \cdot CM}=\frac{CN^2+CK^2-KN^2}{2CN \cdot CK}\Rightarrow . . . \Rightarrow NK^2=\frac{25}{4}\Rightarrow NK=\frac{5}{2}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το "κόλπο"

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 01, 2018 12:16 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Ιουν 30, 2018 10:57 am
Το _κόλπο_.pngΥπολογίστε το μήκος του τμήματος KN . Επιβραβεύεται κυρίως η "πονηριά"

( με την καλή έννοια ! ) και λιγότερο η συντομία της λύσης :lol:
Το μεγάλο κόλπο.png
Το μεγάλο κόλπο.png (26.11 KiB) Προβλήθηκε 653 φορές
Αφού διαπιστώσουμε απλά ότι το ύψος AO = 6 επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων με αρχή το O και οριζόντιο άξονα την BC.

Αβίαστα χωρίς μολύβι και χαρτί προκύπτουν οι συντεταγμέμες των σημείων του σχήματος .

\boxed{\overrightarrow {KN}  = \left( {2,\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow KN = \frac{5}{2}}.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1448
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Το "κόλπο"

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιούλ 01, 2018 1:01 pm

Χαιρετώ και πάλι την διευρυμένη παρέα! Μια ακόμη με χρήση του L που ο Θανάσης ''ξέχασε'' (;) να σβήσει..
Κόλπο...PNG
Κόλπο...PNG (8.64 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές
Όπως είδαμε A,N,L συνευθειακά.
Αν E μέσον του AL τότε ME=3 και με τον Ν.Σ στο τρίγωνο BEM παίρνουμε BE=5 (  cosM= -cosB )

Από τα ίσα τρίγωνα MEN, LNC προκύπτει N μέσον του EL άρα και KN=BE/2=5/2
Φιλικά Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Το "κόλπο"

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιούλ 04, 2018 8:13 am

Ποιο ήταν τελικά το "κόλπο" ; Το μεγάλο τέτοιο ήταν να μπούμε στη διαδικασία εύρεσης ποικιλίας

λύσεων , άρα πέτυχε . Η άσκηση προέκυψε όταν ο φιλότιμος κος KARKAR πειραματιζόταν πάνω

σε ένα σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων , οπότε βλέποντας τις συντεταγμένες των K,N

αμέσως "χτύπησε καμπανάκι" . Επομένως το αρχικά προτεινόμενο "κόλπο" ήταν αυτό του Doloros ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης