Τριπλός λόγος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9755
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριπλός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιουν 10, 2018 6:21 pm

Τριπλός  λόγος.png
Τριπλός λόγος.png (14.13 KiB) Προβλήθηκε 213 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές με AB=AC=5 ,BC=6 , ενώ το TAB είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές . Τα σημεία M,N είναι τα μέσα των BC,AC αντίστοιχα . Η TN

τέμνει την BC στο P και την AM στο S . Βρείτε τον τριπλό λόγο : SP:PN:NT



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5836
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριπλός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 10, 2018 8:53 pm

Ας είναι E το σημείο τομής των ευθειών TA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC\,. Θέτω :

BP = x\,\,,\,\,CE = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = v . Από το Π. Θ. στο \vartriangle AMC: AM = 4\, .

Θ. Μενελάου στο \vartriangle ABE με διατέμνουσα \overline {TNP} και έχω :

\dfrac{{AN}}{{NB}} \cdot \dfrac{{BP}}{{PE}} \cdot \dfrac{{ET}}{{TA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{x}{{6 - x + u}} \cdot \dfrac{{5 + v}}{5} = 1\,\,(1) . Αλλά από Θ. Ευκλείδη στο \vartriangle ABE

A{B^2} = BM \cdot BE \Rightarrow 25 = 3(9 + u) \Rightarrow \boxed{u = \dfrac{7}{3}} και με Π. Θ. στο \vartriangle AME έχω : \boxed{v = \dfrac{{20}}{3}}

και ή (1) δίδει : \boxed{x = \dfrac{5}{2}} .
τριπλός λόγος.png
τριπλός λόγος.png (23.91 KiB) Προβλήθηκε 188 φορές
Μετά απ’ αυτά PM = \dfrac{1}{2} και πάλι με Θ. Μενελάου στο \vartriangle ABM και διατέμνουσα

\overline {NPS} έχω MS = 1. Τα ορθογώνια τρίγωνα ATN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,PSM\, είναι όμοια και έτσι :

\boxed{\dfrac{{PS}}{{NT}} = \dfrac{{MS}}{{AT}} = \dfrac{1}{5}} Επειδή \dfrac{{(ANT)}}{{(BNP)}} = \dfrac{{TN \cdot AN}}{{NP \cdot NB}} = \dfrac{{TN}}{{NP}} \Rightarrow \dfrac{{5 \cdot \dfrac{5}{2}}}{{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{5}{2}\sin B}} = \dfrac{{TN}}{{NP}} \Rightarrow \boxed{\dfrac{{NP}}{{TN}} = \dfrac{2}{5}} .

Συνεπώς τώρα \boxed{\dfrac{{PS}}{{PN}} = \dfrac{1}{2}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5836
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριπλός λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 10, 2018 11:43 pm

τριπλός λόγος_new.png
τριπλός λόγος_new.png (31.25 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές

Αν επιλέξω το σύστημα συντεταγμένων του σχήματος αβίαστα προκύπτουν οι συντεταγμένες που φαίνονται στο σχήμα εκτός ίσως του T.

Για το T έχουμε: {\lambda _{\overrightarrow {AB} }} = \dfrac{4}{3} και άρα \boxed{AT \to y - 4 =  - \dfrac{3}{4}x} το T όμως ανήκει και

στον κύκλο (A,5) \to {x^2} + {(y - 4)^2} = 25 συνεπώς :

T:\left\{ \begin{gathered} 
  y - 4 =  - \frac{3}{4}x \hfill \\ 
  {x^2} + {(y - 4)^2} = 25 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  (x,y) = ( - 4,7) \hfill \\ 
  (x,y) = (4,1) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow T( - 4,7) .

Η ευθεία TN \to 2x + y + 1 = 0 και άρα : P\left( { - \dfrac{1}{2},0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {0, - 1} \right) τα υπόλοιπα απλά


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1391
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τριπλός λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Ιουν 12, 2018 8:24 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Ιουν 10, 2018 6:21 pm
Τριπλός λόγος.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC είναι ισοσκελές με AB=AC=5 ,BC=6 , ενώ το TAB είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές . Τα σημεία M,N είναι τα μέσα των BC,AC αντίστοιχα . Η TN

τέμνει την BC στο P και την AM στο S . Βρείτε τον τριπλό λόγο : SP:PN:NT

Με \displaystyle AF,BL \bot TS \Rightarrow FN = NL και \displaystyle \tan \theta  = \frac{{AN}}{{AT}} = \frac{1}{2} \Rightarrow AF = 2FN = FL

Έτσι, \displaystyle \angle ALT = \angle ABT = {45^0} \Rightarrow TBLA εγγράψιμο και λόγω και του εγγράψιμου

\displaystyle BLMS οι κόκκινες γωνίες είναι \displaystyle \theta .Άρα \displaystyle F μέσον της \displaystyle TS

Ακόμη, \displaystyle \tan \angle FAS = \tan (\theta  + \omega ) = ...2 \Rightarrow FS = 2FA = 2FLκι επειδή \displaystyle NL = LP,τελικά

\displaystyle \boxed{\frac{{NP}}{{TN}} = \frac{2}{5}},\boxed{\frac{{SP}}{{PN}} = \frac{1}{2}},\boxed{\frac{{PS}}{{NT}} = \frac{1}{5}}
T.L.png
T.L.png (17.52 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης