Εμβαδόν κυκλικού τμήματος

[Al.Koutsouridis]

Τραπέζιο με βάση και ύψος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας . Ο καθένας από τους τέσσερις κυκλικούς τομείς που αποκόβει κάθε πλευρά του, αντανακλάται συμμετρικά ως προς την εκάστοτε πλευρά, στο εσωτερικό του τραπεζίου. Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος, που αποτελείται από εκείνα τα σημεία του τραπεζίου, τα οποία δεν ανήκουν σε κανένα από τους κυκλικούς τομείς που έχουν αντανακλαστεί.


Θέμα 5ο των εισαγωγικών εξετάσεων του τμήματος Υπολογιστικών Μαθηματικών & Κυβερνητικής του Κρατικού Πανεπιστημίου της Μόσχας, 2001.

[Σταμ. Γλάρος]

Τραπέζιο με βάση και ύψος είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας . Ο καθένας από τους τέσσερις κυκλικούς τομείς που αποκόβει κάθε πλευρά του, αντανακλάται συμμετρικά ως προς την εκάστοτε πλευρά, στο εσωτερικό του τραπεζίου. Να βρείτε το εμβαδόν του σχήματος, που αποτελείται από εκείνα τα σημεία του τραπεζίου, τα οποία δεν ανήκουν σε κανένα από τους κυκλικούς τομείς που έχουν αντανακλαστεί.

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια, ελπίζοντας ότι δεν έχω κάνει παρανόηση...

Εμβαδόν κυκλικού τμήματος.png (27.54 KiB) Προβλήθηκε 909 φορές

Αφού είναι .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε .
Άρα .
Από Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε .
Τώρα το εμβαδόν του τραπεζίου είναι : .
Το εμβαδόν του κύκλου είναι : .
Άρα το εμβαδόν των τεσσάρων κυκλικών τμημάτων είναι : .
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι : .
Ελπίζω να μην ... κατέστρεψα την ωραία άσκηση.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

[Al.Koutsouridis]

Να σημειώσουμε ότι στην παραπάνω λύση (ωραία σκέψη) υποτίθεται ότι οι κυκλικοί τομείς δεν επικαλύπτονται. Ισχύει όμως κάτι τέτοιο; Αν ναι ή όχι, γιατί;

[Al.Koutsouridis]

Επαναφορά. Νομίζω το πρόβλημα είναι αρκετά διδακτικό.