Λόγος ζηλευτός !

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 842
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Λόγος ζηλευτός !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 27, 2018 1:47 am

Καλημέρα , καλή Κυριακή .Μου άρεσε το θέμα που ακολουθεί, όχι μόνο για το αποτέλεσμα...
σπεύδω λοιπόν να το μοιραστώ μαζί σας.
27-5-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG
27-5-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG (6.92 KiB) Προβλήθηκε 258 φορές
Το τρίγωνο ABC έχει μήκη πλευρών c=10..b=14..a=16.

Η παράλληλη από το μέσον M της BC προς την AB , τέμνει τη διχοτόμο της \widehat{A} στο G .

Αν I το μέσον της AG τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος  \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (GIM  \right )}.
Ευχαριστώ, Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος ζηλευτός !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 27, 2018 3:36 am

Ζηλευτός λόγος.png
Ζηλευτός λόγος.png (25.14 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές
αύριο (λόγω ώρας ) η λύση ( αν δεν απαντηθεί)

x = 2\,\,,\,\,y = 4\,\,,\,\,\vartriangle EBM ισόπλευρο . Ο λόγος άριστος !
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Κυρ Μάιος 27, 2018 11:59 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7086
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος ζηλευτός !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 27, 2018 11:34 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μάιος 27, 2018 1:47 am
Καλημέρα , καλή Κυριακή .Μου άρεσε το θέμα που ακολουθεί, όχι μόνο για το αποτέλεσμα...
σπεύδω λοιπόν να το μοιραστώ μαζί σας.
27-5-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει μήκη πλευρών c=10..b=14..a=16.

Η παράλληλη από το μέσον M της BC προς την AB , τέμνει τη διχοτόμο της \widehat{A} στο G .

Αν I το μέσον της AG τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος  \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (GIM  \right )}.
Ευχαριστώ, Γιώργος.


Καλημέρα!

Με νόμο συνημιτόνων βρίσκω ότι \widehat B=60^0. Έστω D το ίχνος της διχοτόμου και E το σημείο τομής των MI, AB.

Τα τρίγωνα AEI, GIM είναι ίσα. Αλλά, \displaystyle \frac{{BD}}{{DM}} = \frac{{AB}}{{GM}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{{20}}{3}}}{{\frac{4}{3}}} = \frac{{10}}{{GM}} \Leftrightarrow \boxed{GM=AE=2}


\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16\sin {60^0} = (ABC) = 20r \Leftrightarrow 40\sqrt 3  = 20r \Leftrightarrow \boxed{r = 2\sqrt 3 } και \displaystyle (ABI) = 5r = 10\sqrt 3  = \frac{{(BAC)}}{4}

\displaystyle \frac{{(ABI)}}{{(GIM)}} = \frac{{(ABI)}}{{(AEI)}} = \frac{{10}}{2} \Leftrightarrow \frac{{(BAC)/4}}{{(AEI)}} = 5 \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(ABI)}}{{(GIM)}} = 20} πράγματι ζηλευτός!
Συνημμένα
Λόγος ζηλευτός!.png
Λόγος ζηλευτός!.png (16.79 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Κυρ Μάιος 27, 2018 11:58 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5912
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Λόγος ζηλευτός !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 27, 2018 11:57 am

Πρώτα-πρώτα , το τρίγωνο \vartriangle ABC είναι οξυγώνιο και από Θ. συνημίτονου

έχω:A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos B \Rightarrow \boxed{B = 60^\circ } .. Έστω AD η διχοτόμος ,

E το σημείο τομής της MI\,\, με την AB\,\, και N το μέσο της BM. Θέτω

MG = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MI = y . Από την προφανή ισότητα των τριγώνων MGI\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EAI

Προκύπτει , AE = x\,\,.

Από το \vartriangle EBM έχω : IN// = \dfrac{{BE}}{2}\,\,(1) . Από το Θ. διχοτόμου στο \vartriangle ABC έχω :

BD = \dfrac{{ac}}{{b + c}} = \dfrac{{160}}{{24}} = \dfrac{{20}}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  ND = BD - BN = \frac{8}{3} \hfill \\ 
  DM = BM - BD = \frac{4}{3} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.
Ζηλευτός_λόγος_Μίτσιου.png
Ζηλευτός_λόγος_Μίτσιου.png (24.67 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
Άρα ND = 2DM με άμεση συνέπεια : IN = 2x και έτσι η (1) δίδει :

2x = \dfrac{{10 - x}}{2} \Rightarrow \boxed{x = 2} \Rightarrow IN = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NM = \dfrac{{8 + 4}}{3} = 4 δηλαδή το τα τρίγωνα :

INM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EBM είναι ισόπλευρα πλευρών 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,8 αντίστοιχα .

\dfrac{{(ABC)}}{{(MIG)}} = \dfrac{{10 \cdot 16}}{{2 \cdot 4}} = 20 , γιατί \widehat B + \widehat {IMG} = 60^\circ  + 120^\circ  = 180^\circ


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1441
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Λόγος ζηλευτός !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μάιος 27, 2018 1:18 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μάιος 27, 2018 1:47 am
Καλημέρα , καλή Κυριακή .Μου άρεσε το θέμα που ακολουθεί, όχι μόνο για το αποτέλεσμα...
σπεύδω λοιπόν να το μοιραστώ μαζί σας.
27-5-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG
Το τρίγωνο ABC έχει μήκη πλευρών c=10..b=14..a=16.

Η παράλληλη από το μέσον M της BC προς την AB , τέμνει τη διχοτόμο της \widehat{A} στο G .

Αν I το μέσον της AG τότε : Να υπολογιστεί ο λόγος  \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left (GIM  \right )}.
Ευχαριστώ, Γιώργος.



Έστω \displaystyle \left( {ABC} \right) = E,\left( {IMG} \right) = S

Από θ.διχοτόμου \displaystyle BD = \frac{{20}}{3},DC = \frac{{28}}{3} \Rightarrow DM = \frac{4}{3}.Άρα \displaystyle \frac{{BD}}{{DM}} = 5

Είναι , \displaystyle \left( {ABG} \right) = \left( {ABM} \right) = \frac{E}{2} \Rightarrow \left( {BIG} \right) = \frac{E}{4}

\displaystyle \frac{E}{S} = \frac{{4\left( {IBG} \right)}}{S} = 4\frac{{BD}}{{DM}} \Rightarrow \boxed{\frac{E}{S} = 20}

[attachment=0]λόγος ζηλευτός.png[/attachment]
Συνημμένα
λόγος ζηλευτός.png
λόγος ζηλευτός.png (23.96 KiB) Προβλήθηκε 211 φορές


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 842
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Λόγος ζηλευτός !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιουν 09, 2018 1:41 am

Καλημέρα. Ευχαριστώ τους Νίκο , Γιώργο και Μιχάλη για τις ωραίες λύσεις
Μια ακόμη προσέγγιση
9-6-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG
9-6-18 Λόγος ζηλευ-τ-ός.PNG (9.64 KiB) Προβλήθηκε 140 φορές
Με GMN \parallel  AB είναι το N μέσον της AC άρα MN=AB/2=5 ενώ ,ως άνω, GM=AE=2 .

Τότε BE=8=BM...AN=7=GN. Στο ισόπλευρο BAM έχουμε EI=IM , άρα I έγκεντρο του BAC.

Στο ισοσκελές GAN είναι AI=IG έτσι NI διχοτόμος της \widehat{ANG}

συνεπώς το ABMN περιγεγραμμένο στον έγκυκλο του ABC.

Οπότε \left ( GIM \right )=\dfrac{GM\cdot \rho }{2 }=\rho και \left ( ABC \right )=\tau \cdot \rho , έπεται \dfrac{\left ( ABC \right )}{\left ( GIM \right )}=\tau .

Οι τιμές τέθηκαν ώστε να προκύψει λόγος \tau =20 ( ζηλευ-τ-ός όπως .. λέει ο υπότιτλος της εικόνας)
ή καλύτερα άρισ-τ-ος , όπως γράφει πριν ο Νίκος !
Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης