Εμβαδόν παραλληλογράμμου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 743
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Εμβαδόν παραλληλογράμμου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Παρ Μάιος 25, 2018 8:56 pm

Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο O και το μήκος της διαγωνίου BD είναι ίσο με 12. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AOD και COD, είναι ίση με 16. Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AOB, είναι ίση με 5. Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ABCD.
τελευταία επεξεργασία από Al.Koutsouridis σε Κυρ Μάιος 27, 2018 2:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 329
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Μάιος 26, 2018 12:00 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 8:56 pm
Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο O και το μήκος της διαγωνίου BD είναι ίσο με 12. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AOD και COD, είναι ίση με 16. Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AOB, είναι ίση με 5. Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ABCD.
(ABCD)=69,12. Αύριο η πλήρης λύση.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5911
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 26, 2018 4:45 am

Έστω K,,L,M τα κέντρα των κύκλων :

(K) \to (O,D,A)\,\,\,,\,\,(L) \to (O,D,C)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(M) \to (O,A,B) . οι κύκλοι (M)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(L)

είναι ίσοι ακτίνας 5 και εφάπτονται εξωτερικά στο O Αν η διάκεντρος KL κόψει

την κοινή χορδή OD στο N, τότε το τρίγωνο ορθογώνιο τρίγωνο NLO έχει

OL = 5\,\,,\,\,ON = 3\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NL = 4 \Rightarrow \boxed{KN = 12} . Η γωνία \widehat {NLO} έχει συνημίτονο \dfrac{4}{5}
Εμβαδόν παραλληλογράμμου _ok.png
Εμβαδόν παραλληλογράμμου _ok.png (30.57 KiB) Προβλήθηκε 225 φορές
οπότε από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle KLM έχω \boxed{KM = 10} δηλαδή το \vartriangle MKL είναι

ισοσκελές και έτσι KM//DL . Αυτό μας εξασφαλίζει ότι και η DL \bot AO και

αφού MB//DL θα είναι τα K,M,B σε ευθεία . Μετά απ’ αυτά θα είναι

AB = BO = OD = DC = 6 και αφού \sin \widehat {ODC} = \dfrac{{24}}{{25}} θα είναι : (ABCD) = 4(ODC).

Δηλαδή , \boxed{(ABCD) = 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot \frac{{24}}{{25}} = \frac{{1728}}{{25}}}.


nikkru
Δημοσιεύσεις: 329
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Σάβ Μάιος 26, 2018 9:01 pm

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 8:56 pm
Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο O και το μήκος της διαγωνίου BD είναι ίσο με 12. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AOD και COD, είναι ίση με 16. Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AOB, είναι ίση με 5. Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ABCD.
Τα τρίγωνα OAB,OCD είναι ίσα άρα έχουν ίσους περιγεγραμμένους κύκλους, έτσι ND=5.

Αν KK',NN' αποστήματα και M το μέσο του KN, είναι MO//KK' άρα MO \perp AC (1).

Η διάκεντρος KN είναι μεσοκάθετος της κοινής χορδής των δύο κύκλων άρα OT=TD=3.
Εμβαδό Παραλληλογράμμου.png
Εμβαδό Παραλληλογράμμου.png (44.37 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
.
Από το Π.Θ. στο ορθ. τρίγωνα NTD , KTD είναι NT=4,KD=R= \sqrt{153} . Oι MN,OD διχοτομούνται κάθετα, άρα το OMND ρόμβος (2).

Από (1),(2) \Rightarrow NN' \equiv ND \Rightarrow DC=DO=6 .

Είναι D\widehat{N}T=\frac{D\widehat{N}O}{2}=D\widehat{C}O και D\widehat{K}T=\frac{D\widehat{K}O}{2}=D\widehat{A}O οπότε τα τρίγωνα ADC,KDN είναι όμοια και \frac{CD}{DN}=\frac{KN}{AC} \Rightarrow AC= \frac{16 \cdot 6}{5}=19,2.

Τελικά, \left ( ABCD \right )=4\left ( ODC \right )=4\frac{OD \cdot DC \cdot OC}{4ND}=\frac{6 \cdot 6 \cdot 9,6}{5}= 69,12.


Άβαταρ μέλους
Al.Koutsouridis
Δημοσιεύσεις: 743
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Al.Koutsouridis » Σάβ Μάιος 26, 2018 9:40 pm

Να ευχαριστήσω τους κ.Νίκο και nikkru για τις λύσεις. Να σημειώσουμε όμως ότι και οι δυο παραπάνω λύσεις βασίζονται στο πως κάνουμε αρχικά το σχήμα. Υπάρχει και άλλο τελικό αποτέλεσμα για το εμβαδόν :D .


nikkru
Δημοσιεύσεις: 329
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Εμβαδόν παραλληλογράμμου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Κυρ Μάιος 27, 2018 8:47 am

Al.Koutsouridis έγραψε:
Παρ Μάιος 25, 2018 8:56 pm
Στο παραλληλόγραμμο ABCD οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο O και το μήκος της διαγωνίου BD είναι ίσο με 12. Η απόσταση μεταξύ των κέντρων, των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων AOD και COD, είναι ίση με 16. Η ακτίνα, του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AOB, είναι ίση με 5. Να βρείτε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ABCD.
Al.Koutsouridis έγραψε:
Σάβ Μάιος 26, 2018 9:40 pm
Να ευχαριστήσω τους κ.Νίκο και nikkru για τις λύσεις. Να σημειώσουμε όμως ότι και οι δυο παραπάνω λύσεις βασίζονται στο πως κάνουμε αρχικά το σχήμα. Υπάρχει και άλλο τελικό αποτέλεσμα για το εμβαδόν :D .
Πράγματι, στην κατασκευή του σχήματος έχουμε δύο περιπτώσεις για το κέντρο N του περιγ. κύκλου του τριγώνου ODC.

Το σημείο N μπορεί να είναι εξωτερικό (παραπάνω λύση) ή εσωτερικό του κύκλου K.

Μια λύση ( κάπως πιο σύντομη) για την 2η περίπτωση .

Από το Π.Θ. στα ορθογώνια τρίγωνα NTD,MTD είναι NT=4, DM=\sqrt{153}.

Τα τρίγωνα NMD,COD είναι όμοια, άρα DC=\frac{5}{\sqrt{17}},OC=\frac{16}{\sqrt{17}}.

Το εμβαδόν σ'αυτή την περίπτωση είναι: (ABCD)=4(ODC)=4\frac{OD \cdot DC \cdot OC}{4 \cdot ND}=\frac{192}{17}
.
Εμβαδό Παραλληλογράμμου_2.png
Εμβαδό Παραλληλογράμμου_2.png (18.99 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης