Λόγος περιμέτρων

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 787
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Λόγος περιμέτρων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 15, 2018 3:26 am

Kαλημέρα. Με αφορμή το θέμα ΤΟΥΤΟ
15-5-18 Λόγος περιμέτρων.PNG
15-5-18 Λόγος περιμέτρων.PNG (5.34 KiB) Προβλήθηκε 172 φορές
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=2..AC=3 και BC=4.

Θεωρούμε τα σημεία E,M,I της διχοτόμου BD ώστε να ισχύουν :

DE=2BE..BM=MD ενώ CI  \perp AM.

Υπολογίστε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων BIC και EBA
Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3087
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Λόγος περιμέτρων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Τρί Μάιος 15, 2018 3:35 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μάιος 15, 2018 3:26 am
Kαλημέρα. Με αφορμή το θέμα ΤΟΥΤΟ

Στο τρίγωνο ABC είναι AB=2..AC=3 και BC=4.

Θεωρούμε τα σημεία E,M,I της διχοτόμου BD ώστε να ισχύουν :

DE=2BE..BM=MD ενώ CI  \perp AM.

Υπολογίστε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων BIC και EBA
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Γεια σου Γιώργο!
shape.png
shape.png (20.67 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
Από θεώρημα διχοτόμου CD = 2DA = 2

Αν K το συμμετρικό του A ως προς M, τότε το ADKB είναι παραλληλόγραμμο.

Αν L \equiv AK \cap BC, τότε από  \triangleleft ACL \sim  \triangleleft KBL \Rightarrow CL = 3BL = 3

Έτσι, το  \triangleleft CAL είναι ισοσκελές και η CI εκτός από ύψος θα είναι και διχοτόμος.

Είναι BE = \dfrac{{BD}}{3} από υπόθεση και DI = \dfrac{{BD}}{3} από θεώρημα διχοτόμου, οπότε BE = EI = DI

Τα έγχρωμα τρίγωνα είναι όμοια (δύο πλευρές ανάλογες και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες), οπότε ο λόγος των περιμέτρων ισούται με το λόγο ομοιότητας, δηλαδή 2


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος περιμέτρων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 16, 2018 11:13 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μάιος 15, 2018 3:26 am
Kαλημέρα. Με αφορμή το θέμα ΤΟΥΤΟ
15-5-18 Λόγος περιμέτρων.PNG
Στο τρίγωνο ABC είναι AB=2..AC=3 και BC=4.

Θεωρούμε τα σημεία E,M,I της διχοτόμου BD ώστε να ισχύουν :

DE=2BE..BM=MD ενώ CI  \perp AM.

Υπολογίστε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων BIC και EBA
Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα στους φίλους!

Θα δείξω ότι τα τρίγωνα BIC και EBA είναι όμοια, οπότε ο λόγος των περιμέτρων θα είναι 2. Επειδή όμως αυτά τα τρίγωνα έχουν μία γωνία ίση, αρκεί να δείξω ότι B\widehat AE=I\widehat CB.
Λόγος περιμέτρων.png
Λόγος περιμέτρων.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 96 φορές
Θεώρημα Μενελάου στο BDC με διατέμνουσα \displaystyle \overline {AML}: \displaystyle \frac{{AD}}{{AC}} \cdot \frac{{LC}}{{LB}} \cdot \frac{{BM}}{{MD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{{LC}}{{LB}} = 1 \Leftrightarrow LC = 3LB

Το τρίγωνο λοιπόν CAL είναι ισοσκελές κι επειδή \displaystyle CN \bot AL, η CI διχοτομεί τη γωνία \widehat C, άρα I\widehat CB=\dfrac{\widehat C}{2}.

Από την παραπομπή όμως έχουμε \displaystyle A\widehat MB = B\widehat DC \Leftrightarrow B\widehat AM = \widehat C. Είναι όμως \displaystyle BE = \frac{{BD}}{3},BM = \frac{{BD}}{2},

οπότε \displaystyle \frac{{BE}}{{EM}} = 2 = \frac{{AB}}{{AM}}, δηλαδή B\widehat AE=\dfrac{\widehat C}{2} και το ζητούμενο έπεται.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 787
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Λόγος περιμέτρων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Μάιος 17, 2018 1:40 am

Καλημέρα.Ευχαριστώ τους φίλους Μιχάλη και Γιώργο για τις ωραίες λύσεις !
Μια ακόμη (παρόμοια) προσέγγιση
Λόγος Περιμέτρων.PNG
Λόγος Περιμέτρων.PNG (7.45 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές
Είναι \widehat{BAM}= \theta -\varphi =\widehat{C} και όπως ο Γιώργος πριν η AE διχοτόμος της \widehat{BAM}.

Ισχύει a^{2}=ab+c^{2} άρα   \widehat{BAC}=90^{0}+\widehat{C}/2 .

Τότε  \widehat{MAC}= 90^{0}-\widehat{C}/2 \Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{C}/2 δηλ. CIN διχοτόμος της \widehat{C} .
Τα λοιπά γνωστά ... Φιλικά Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης