Λόγος περιμέτρων

Γιώργος Μήτσιος · #1

Kαλημέρα. Με αφορμή το θέμα ΤΟΥΤΟ

: 15-5-18 Λόγος περιμέτρων.PNG (5.34 KiB) Προβλήθηκε 1221 φορές

Στο τρίγωνο ABC

είναι

και

.

Θεωρούμε τα σημεία E,M,I

της διχοτόμου

ώστε να ισχύουν :

DE=2BE..BM=MD

ενώ $CI \perp AM$ .

Υπολογίστε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων και
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Ιστοσελίδα · #2

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 15, 2018 3:26 am
Kαλημέρα. Με αφορμή το θέμα ΤΟΥΤΟ

Στο τρίγωνο είναι και .

Θεωρούμε τα σημεία της διχοτόμου ώστε να ισχύουν :

ενώ $CI \perp AM$ .

Υπολογίστε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων και
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Γεια σου Γιώργο!

: shape.png (20.67 KiB) Προβλήθηκε 1174 φορές

Από θεώρημα διχοτόμου CD = 2DA = 2

Αν

το συμμετρικό του

ως προς

, τότε το

είναι παραλληλόγραμμο.

Αν $L \equiv AK \cap BC$ , τότε από $\triangleleft ACL \sim \triangleleft KBL \Rightarrow CL = 3BL = 3$

Έτσι, το $\triangleleft CAL$ είναι ισοσκελές και η

εκτός από ύψος θα είναι και διχοτόμος.

Είναι $BE = \dfrac{{BD}}{3}$ από υπόθεση και $DI = \dfrac{{BD}}{3}$ από θεώρημα διχοτόμου, οπότε BE = EI = DI

Τα έγχρωμα τρίγωνα είναι όμοια (δύο πλευρές ανάλογες και οι περιεχόμενες γωνίες ίσες), οπότε ο λόγος των περιμέτρων ισούται με το λόγο ομοιότητας, δηλαδή

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 15, 2018 3:26 am
Kαλημέρα. Με αφορμή το θέμα ΤΟΥΤΟ
15-5-18 Λόγος περιμέτρων.PNG
Στο τρίγωνο είναι και .

Θεωρούμε τα σημεία της διχοτόμου ώστε να ισχύουν :

ενώ $CI \perp AM$ .

Υπολογίστε το λόγο των περιμέτρων των τριγώνων και
Ευχαριστώ , Γιώργος.

Καλημέρα στους φίλους!

Θα δείξω ότι τα τρίγωνα BIC

και

είναι όμοια, οπότε ο λόγος των περιμέτρων θα είναι

Επειδή όμως αυτά τα τρίγωνα έχουν μία γωνία ίση, αρκεί να δείξω ότι $B\widehat AE=I\widehat CB.$

: Λόγος περιμέτρων.png (19.12 KiB) Προβλήθηκε 1145 φορές

Θεώρημα Μενελάου στο BDC

με διατέμνουσα $\displaystyle \overline {AML}:$ $\displaystyle \frac{{AD}}{{AC}} \cdot \frac{{LC}}{{LB}} \cdot \frac{{BM}}{{MD}} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{{LC}}{{LB}} = 1 \Leftrightarrow LC = 3LB$

Το τρίγωνο λοιπόν CAL

είναι ισοσκελές κι επειδή $\displaystyle CN \bot AL,$ η

διχοτομεί τη γωνία $\widehat C,$ άρα $I\widehat CB=\dfrac{\widehat C}{2}.$

Από την παραπομπή όμως έχουμε $\displaystyle A\widehat MB = B\widehat DC \Leftrightarrow B\widehat AM = \widehat C.$ Είναι όμως $\displaystyle BE = \frac{{BD}}{3},BM = \frac{{BD}}{2},$

οπότε $\displaystyle \frac{{BE}}{{EM}} = 2 = \frac{{AB}}{{AM}},$ δηλαδή $B\widehat AE=\dfrac{\widehat C}{2}$ και το ζητούμενο έπεται.

Γιώργος Μήτσιος · #4

Καλημέρα.Ευχαριστώ τους φίλους Μιχάλη και Γιώργο για τις ωραίες λύσεις !
Μια ακόμη (παρόμοια) προσέγγιση

: Λόγος Περιμέτρων.PNG (7.45 KiB) Προβλήθηκε 1107 φορές

Είναι $\widehat{BAM}= \theta -\varphi =\widehat{C}$ και όπως ο Γιώργος πριν η

διχοτόμος της $\widehat{BAM}$ .

Ισχύει $a^{2}=ab+c^{2}$ άρα $\widehat{BAC}=90^{0}+\widehat{C}/2$ .

Τότε $\widehat{MAC}= 90^{0}-\widehat{C}/2 \Rightarrow \widehat{ACN}=\widehat{C}/2$ δηλ. CIN

διχοτόμος της $\widehat{C}$ .
Τα λοιπά γνωστά ... Φιλικά Γιώργος.

Λόγος περιμέτρων

Λόγος περιμέτρων

Re: Λόγος περιμέτρων

Re: Λόγος περιμέτρων

Re: Λόγος περιμέτρων

Μέλη σε σύνδεση