Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (8.58 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

Στο παραπάνω σχήμα ο κόκκινος κύκλος εφάπτεται εσωτερικά των δύο ημικυκλίων,

καθώς επίσης και της στο σημείο $\Gamma$ . Δείξτε ότι:

$\dfrac{\alpha +\beta }{\gamma +\delta }=\dfrac{\alpha \cdot \gamma }{\beta \cdot \delta }$

( $A, B, \Gamma , \Delta , E$ συνευθειακά, $\alpha >\beta +\gamma , \delta >\beta +\gamma$ ).

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Πέμ Μάιος 03, 2018 7:27 pm
1.png

Στο παραπάνω σχήμα ο κόκκινος κύκλος εφάπτεται εσωτερικά των δύο ημικυκλίων,

καθώς επίσης και της στο σημείο $\Gamma$ . Δείξτε ότι:

$\dfrac{\alpha +\beta }{\gamma +\delta }=\dfrac{\alpha \cdot \gamma }{\beta \cdot \delta }$

( $A, B, \Gamma , \Delta , E$ συνευθειακά, $\alpha >\beta +\gamma , \delta >\beta +\gamma$ ).

Έστω

τα κέντρα των δύο ημικυκλίων,

το κέντρο του κύκλου και

η ακτίνα του.

: Δύο ημικύκλια κι ένας κύκλος.png (15.07 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

Είναι $\displaystyle OL = \frac{{a + b + c}}{2} - r,OC = \frac{{a + b - c}}{2},KL = \frac{{d + b + c}}{2} - r,KC = \frac{{d + c - b}}{2}$

Εφαρμόζοντας διαδοχικά το Πυθαγόρειο θεώρημα στα τρίγωνα OLC, KLC

καταλήγω στη σχέση:

$\displaystyle \frac{{(a + b)c}}{{a + b + c}} = r = \frac{{(d + c)b}}{{b + d + c}} \Leftrightarrow adc + a{c^2} = adb + {b^2}d \Leftrightarrow ac(c + d) = bd(a + b) \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{a+b}{c+d}=\frac{ac}{bd}}$

Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.

Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.

Re: Δύο ημικύκλια και ένας κύκλος.

Μέλη σε σύνδεση