Δυο προτάσεις

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Δυο προτάσεις

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Απρ 20, 2018 8:26 pm

[attachment=0]Δύο προτάσεις.png[/attachment]

Σημείο S διατρέχει ημικύκλιο κέντρου M και διαμέτρου CD .

ΈστωB η προβολή του S στη διάμετρο CD. Αν εφαπτομένη του ημικυκλίου στο S τέμνει την ευθεία CD στο A τότε Δείξετε:

1. BC \cdot BD = BA \cdot BM και

2. \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}}
Συνημμένα
Δύο προτάσεις.png
Δύο προτάσεις.png (7.95 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Δυο προτάσεις

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Απρ 21, 2018 12:51 am

Doloros έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 8:26 pm
Δύο προτάσεις.png

Σημείο S διατρέχει ημικύκλιο κέντρου M και διαμέτρου CD .

ΈστωB η προβολή του S στη διάμετρο CD. Αν εφαπτομένη του ημικυκλίου στο S τέμνει την ευθεία CD στο A τότε Δείξετε:

1. BC \cdot BD = BA \cdot BM και

2. \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}}

Είναι, \displaystyle \angle D = \angle {S_1} = \angle {S_2} και \displaystyle MS \bot AS , \displaystyle DS \bot CS

Άρα,\displaystyle S{B^2} = \boxed{BC \cdot BD = BA \cdot BM}

Τα \displaystyle C,D είναι συζυγή αρμονικά των \displaystyle A,B .Επομένως

\displaystyle \frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{DB}}{{DA}} \Rightarrow \frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{CB \cdot DB}}{{CA \cdot DA}} = \frac{{AB \cdot MB}}{{S{A^2}}} = \frac{{AB \cdot MB}}{{AB \cdot MB}} \Rightarrow \boxed{\frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}}
δυο προτάσεις.png
δυο προτάσεις.png (8.84 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δυο προτάσεις

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 21, 2018 10:22 am

Doloros έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 8:26 pm
Δύο προτάσεις.png

Σημείο S διατρέχει ημικύκλιο κέντρου M και διαμέτρου CD .

ΈστωB η προβολή του S στη διάμετρο CD. Αν εφαπτομένη του ημικυκλίου στο S τέμνει την ευθεία CD στο A τότε Δείξετε:

1. BC \cdot BD = BA \cdot BM και

2. \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}}
Κάτι παρόμοιο.
Δύο προτάσεις.png
Δύο προτάσεις.png (11.01 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
1) \displaystyle S{M^2} = BM \cdot MA = BM(BM + BA) = B{M^2} + BM \cdot BA \Leftrightarrow

\displaystyle S{M^2} - B{M^2} = BM \cdot BA \Leftrightarrow S{B^2} = BM \cdot BA \Leftrightarrow \boxed{BC \cdot BD = BM \cdot BA}

2) Από θεώρημα διχοτόμου: \displaystyle \frac{{CB}}{{CA}} = \frac{{BS}}{{SA}} = \frac{{\sqrt {MB \cdot BA} }}{{\sqrt {BA \cdot MA} }} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{C{B^2}}}{{C{A^2}}} = \frac{{MB}}{{MA}}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης