mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Απρ 17, 2018 6:36 pm**

: Από το μέσο της διαγωνίου.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

Το

είναι ισοσκελές τραπέζιο με AB=7, CD=25, AD=BC=15

και

είναι ένα σημείο του

ώστε

O περιγεγραμμένος κύκλος του ABE

τέμνει την

σε δύο σημεία και ονομάζω

το πλησιέστερο στο

Αν η κάθετη από το

στην

τέμνει τη

στο

να δείξετε ότι η

διέρχεται από το μέσο της διαγωνίου AC.

Δημοσιεύτηκε: **Τετ Απρ 18, 2018 10:21 am**

Έστω

η τομή των $DK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EH$ ,

το άλλο σημείο τομής του κύκλου με τη

μεγάλη βάση και

η προβολή του

στην

. Θέτω $DH = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM = x$

Η διαφορά βάσεων του ισοσκελούς τραπεζίου είναι 25 - 7 = 18

και άρα οι προβολές των $A\,,\,\,B$ στην

απέχουν από τα άκρα $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ απόσταση

.

Εύκολα μετά προκύπτει ότι το ύψος του τραπεζίου είναι : $PC = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}} = 12$ .

Ενώ η διαγώνιος $AC = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}} = 20$ . Από το αντίστροφο του Π. Θ. στο τρίγωνο

ADC

επειδή ${25^2} = {20^2} + {15^2}$ προκύπτει ότι το τρίγωνο ADC

είναι ορθογώνιο στο

.

Επειδή $DE \cdot DA = DH \cdot DZ = DH(25 - DH) \Rightarrow {k^2} - 25k + 150 = 0$ απ’ όπου :

$k = 10\,\,$ ή k = 15

συνεπώς $\boxed{DH = DE = 10}$ .

Η ευθεία λοιπόν

είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας $\widehat {ADC} = 2\omega$ .

: Απο το μέσο της διαγωνίου.png (44.33 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές

Αφού $\tan 2\omega = \dfrac{{20}}{{15}} = \dfrac{4}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\tan 2\omega = \dfrac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }}$ προκύπτει $\boxed{\tan \omega = 2}$ .

Τώρα λόγω παραλληλίας των βάσεων θα είναι $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ και λόγω της συμμετρίας που

Αναφέρθηκε, $\widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}}$ . Επειδή δε το τετράπλευρο AEHB

είναι εγγεγραμμένο θα

είναι και $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _4}}$ , λόγω μεταβατικότητας έχω

$\boxed{\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}}} \Rightarrow \vartriangle AEM \approx \vartriangle NED \Rightarrow x = AM = AE\tan \omega = 10 = \dfrac{1}{2}AC$ . Δηλαδή το

είναι μέσο της

.

mathematica.gr

Από το μέσο της διαγωνίου

Από το μέσο της διαγωνίου

Re: Από το μέσο της διαγωνίου