Από το μέσο της διαγωνίου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6963
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Από το μέσο της διαγωνίου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 17, 2018 6:36 pm

Από το μέσο της διαγωνίου.png
Από το μέσο της διαγωνίου.png (17.65 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές
Το ABCD είναι ισοσκελές τραπέζιο με AB=7, CD=25, AD=BC=15 και E είναι ένα σημείο του AD ώστε

ED=2AE. O περιγεγραμμένος κύκλος του ABE τέμνει την DC σε δύο σημεία και ονομάζω H το πλησιέστερο στο D.

Αν η κάθετη από το D στην EH τέμνει τη BH στο K να δείξετε ότι η EK διέρχεται από το μέσο της διαγωνίου AC.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5865
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Από το μέσο της διαγωνίου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Απρ 18, 2018 10:21 am

Έστω N η τομή των DK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EH , Z το άλλο σημείο τομής του κύκλου με τη

μεγάλη βάση και P η προβολή του C στην AB. Θέτω DH = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM = x

Η διαφορά βάσεων του ισοσκελούς τραπεζίου είναι 25 - 7 = 18 και άρα οι προβολές των A\,,\,\,B στην DC απέχουν από τα άκρα D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C απόσταση 9.

Εύκολα μετά προκύπτει ότι το ύψος του τραπεζίου είναι : PC = \sqrt {{{15}^2} - {9^2}}  = 12 .

Ενώ η διαγώνιος AC = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}}  = 20. Από το αντίστροφο του Π. Θ. στο τρίγωνο

ADC επειδή {25^2} = {20^2} + {15^2} προκύπτει ότι το τρίγωνο ADC είναι ορθογώνιο στο A.

Επειδή DE \cdot DA = DH \cdot DZ = DH(25 - DH) \Rightarrow {k^2} - 25k + 150 = 0 απ’ όπου :

k = 10\,\, ή k = 15 συνεπώς \boxed{DH = DE = 10}.

Η ευθεία λοιπόν DK είναι άξονας συμμετρίας της γωνίας \widehat {ADC} = 2\omega .
Απο το μέσο της διαγωνίου.png
Απο το μέσο της διαγωνίου.png (44.33 KiB) Προβλήθηκε 98 φορές

Αφού \tan 2\omega  = \dfrac{{20}}{{15}} = \dfrac{4}{3}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\tan 2\omega  = \dfrac{{2\tan \omega }}{{1 - {{\tan }^2}\omega }} προκύπτει \boxed{\tan \omega  = 2} .

Τώρα λόγω παραλληλίας των βάσεων θα είναι \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} και λόγω της συμμετρίας που

Αναφέρθηκε, \widehat {{\theta _2}} = \widehat {{\theta _3}} . Επειδή δε το τετράπλευρο AEHB είναι εγγεγραμμένο θα

είναι και \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _4}} , λόγω μεταβατικότητας έχω

\boxed{\widehat {{\theta _3}} = \widehat {{\theta _4}}} \Rightarrow \vartriangle AEM \approx \vartriangle NED \Rightarrow x = AM = AE\tan \omega  = 10 = \dfrac{1}{2}AC . Δηλαδή το M

είναι μέσο της AC.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Φανης Θεοφανιδης και 1 επισκέπτης