Δύο κύκλοι-29.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 737 φορές

Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι $C_{1}, C_{2}$ με κέντρα $O_{1}, O_{2}$ αντίστοιχα, που ο ένας
διέρχεται από το κέντρο του άλλου. Φέρνω την εφαπτομένη του $C_{1}$ στο $O_{2}$ η
οποία τέμνει τον $C_{2}$ στο . Επίσης φέρνω την προέκταση της $O_{2}O_{1}$ , προς
το μέρος του $O_{1}$ , η οποία τέμνει τον $C_{1}$ στο . Αν $\Gamma \equiv AB\cap C_{2}$ ,
να δείξετε ότι η κάθετη της στο $\Gamma$ , τέμνει την $O_{1}O_{2}$ στο μέσο της.

KARKAR · #2

: 29.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 731 φορές

Τα τρίγωνα BO'A , SO'M

είναι όμοια ...

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Απρ 16, 2018 7:13 pm
1.png
Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι $C_{1}, C_{2}$ με κέντρα $O_{1}, O_{2}$ αντίστοιχα, που ο ένας
διέρχεται από το κέντρο του άλλου. Φέρνω την εφαπτομένη του $C_{1}$ στο $O_{2}$ η
οποία τέμνει τον $C_{2}$ στο . Επίσης φέρνω την προέκταση της $O_{2}O_{1}$ , προς
το μέρος του $O_{1}$ , η οποία τέμνει τον $C_{1}$ στο . Αν $\Gamma \equiv AB\cap C_{2}$ ,
να δείξετε ότι η κάθετη της στο $\Gamma$ , τέμνει την $O_{1}O_{2}$ στο μέσο της.

Έστω $\displaystyle R$ η ακτίνα των δυο κύκλων

$\displaystyle x \cdot (2R - x) = DM \cdot MB = y \cdot (2R - y)$ $\displaystyle \Rightarrow ..(x - y)R = 0 \Rightarrow \boxed{x = y}$

: dk-29.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 716 φορές

#4

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Δευ Απρ 16, 2018 7:13 pm
1.png
Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι $C_{1}, C_{2}$ με κέντρα $O_{1}, O_{2}$ αντίστοιχα, που ο ένας
διέρχεται από το κέντρο του άλλου. Φέρνω την εφαπτομένη του $C_{1}$ στο $O_{2}$ η
οποία τέμνει τον $C_{2}$ στο . Επίσης φέρνω την προέκταση της $O_{2}O_{1}$ , προς
το μέρος του $O_{1}$ , η οποία τέμνει τον $C_{1}$ στο . Αν $\Gamma \equiv AB\cap C_{2}$ ,
να δείξετε ότι η κάθετη της στο $\Gamma$ , τέμνει την $O_{1}O_{2}$ στο μέσο της.

: Δύο κύκλοι 29.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 693 φορές

$\displaystyle BM \cdot B{O_2} = BC \cdot BA = B{O_1} \cdot BD \Leftrightarrow BM \cdot 2R = R \cdot 3R \Leftrightarrow BM = \frac{{3R}}{2}$ και το ζητούμενο έπεται.

#5

Μια ακόμα με ύλη Α Λυκείου

Ας είναι

το σημείο τομής της

με τον ${C_1}$ και ${O_1}M$ το απόστημα στη χορδή

.

Προφανώς στο ισοσκελές τρίγωνο ${O_2}CA$ το ύψος ${O_2}D$ είναι και διάμεσος .

Θέτω : $AD = DC = a\,\,\kappa \alpha \iota \,MC = b$ .

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα $M{O_1}B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA{O_2}$ έχουν ${O_1}B = {O_2}A = R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat B = \widehat \theta$

θα είναι ίσα και άρα , ${O_1}M = AD = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM = {O_2}D\,\,$ .

: Δύο κύκλοι 29.png (31.43 KiB) Προβλήθηκε 677 φορές

Αλλά στο ορθογώνιο τρίγωνο $DB{O_2}$ τα ${O_{1\,\,}}\kappa \alpha \iota \,\,M$ είναι μέσα των πλευρών του

$B{O_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD$ έτσι προκύπτουν : $MB = MD = D{O_2} = 2a \Rightarrow a + b = 2a \Rightarrow \boxed{a = b}$

Τώρα στο τραπέζιο ${O_1}MD{O_2}$ η

είναι αναγκαστικά διάμεσος του.

Δύο κύκλοι-29.

Δύο κύκλοι-29.

Re: Δύο κύκλοι-29.

Re: Δύο κύκλοι-29.

Re: Δύο κύκλοι-29.

Re: Δύο κύκλοι-29.

Μέλη σε σύνδεση