Δύο κύκλοι-29.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 886
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Δύο κύκλοι-29.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Απρ 16, 2018 7:13 pm

1.png
1.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι C_{1}, C_{2} με κέντρα O_{1}, O_{2} αντίστοιχα, που ο ένας
διέρχεται από το κέντρο του άλλου. Φέρνω την εφαπτομένη του C_{1} στο O_{2} η
οποία τέμνει τον C_{2} στο A. Επίσης φέρνω την προέκταση της O_{2}O_{1}, προς
το μέρος του O_{1}, η οποία τέμνει τον C_{1} στο B. Αν \Gamma \equiv AB\cap C_{2},
να δείξετε ότι η κάθετη της AB στο \Gamma , τέμνει την O_{1}O_{2} στο μέσο της.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9563
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δύο κύκλοι-29.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 16, 2018 8:38 pm

29.png
29.png (19.4 KiB) Προβλήθηκε 102 φορές
Τα τρίγωνα BO'A , SO'M είναι όμοια ...


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1324
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Δύο κύκλοι-29.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Απρ 17, 2018 12:12 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δευ Απρ 16, 2018 7:13 pm
1.png
Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι C_{1}, C_{2} με κέντρα O_{1}, O_{2} αντίστοιχα, που ο ένας
διέρχεται από το κέντρο του άλλου. Φέρνω την εφαπτομένη του C_{1} στο O_{2} η
οποία τέμνει τον C_{2} στο A. Επίσης φέρνω την προέκταση της O_{2}O_{1}, προς
το μέρος του O_{1}, η οποία τέμνει τον C_{1} στο B. Αν \Gamma \equiv AB\cap C_{2},
να δείξετε ότι η κάθετη της AB στο \Gamma , τέμνει την O_{1}O_{2} στο μέσο της.

Έστω \displaystyle R η ακτίνα των δυο κύκλων

\displaystyle x \cdot (2R - x) = DM \cdot MB = y \cdot (2R - y) \displaystyle  \Rightarrow ..(x - y)R = 0 \Rightarrow \boxed{x = y}
dk-29.png
dk-29.png (19.23 KiB) Προβλήθηκε 87 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6526
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύο κύκλοι-29.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Απρ 17, 2018 8:15 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δευ Απρ 16, 2018 7:13 pm
1.png
Καλησπέρα.

Δίνονται δύο κύκλοι C_{1}, C_{2} με κέντρα O_{1}, O_{2} αντίστοιχα, που ο ένας
διέρχεται από το κέντρο του άλλου. Φέρνω την εφαπτομένη του C_{1} στο O_{2} η
οποία τέμνει τον C_{2} στο A. Επίσης φέρνω την προέκταση της O_{2}O_{1}, προς
το μέρος του O_{1}, η οποία τέμνει τον C_{1} στο B. Αν \Gamma \equiv AB\cap C_{2},
να δείξετε ότι η κάθετη της AB στο \Gamma , τέμνει την O_{1}O_{2} στο μέσο της.
Δύο κύκλοι 29.png
Δύο κύκλοι 29.png (13.75 KiB) Προβλήθηκε 64 φορές
\displaystyle BM \cdot B{O_2} = BC \cdot BA = B{O_1} \cdot BD \Leftrightarrow BM \cdot 2R = R \cdot 3R \Leftrightarrow BM = \frac{{3R}}{2} και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5603
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύο κύκλοι-29.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 17, 2018 10:07 am

Μια ακόμα με ύλη Α Λυκείου

Ας είναι D το σημείο τομής της AB με τον {C_1} και {O_1}M το απόστημα στη χορδή BD.

Προφανώς στο ισοσκελές τρίγωνο {O_2}CA το ύψος {O_2}D είναι και διάμεσος .

Θέτω : AD = DC = a\,\,\kappa \alpha \iota \,MC = b.

Επειδή τα ορθογώνια τρίγωνα M{O_1}B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DA{O_2} έχουν {O_1}B = {O_2}A = R\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat B = \widehat \theta

θα είναι ίσα και άρα , {O_1}M = AD = a\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM = {O_2}D\,\,.
Δύο κύκλοι 29.png
Δύο κύκλοι 29.png (31.43 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές

Αλλά στο ορθογώνιο τρίγωνο DB{O_2} τα {O_{1\,\,}}\kappa \alpha \iota \,\,M είναι μέσα των πλευρών του

B{O_2}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BD έτσι προκύπτουν : MB = MD = D{O_2} = 2a \Rightarrow a + b = 2a \Rightarrow \boxed{a = b}

Τώρα στο τραπέζιο {O_1}MD{O_2} η CN είναι αναγκαστικά διάμεσος του.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης