Τέμνονται στην τέμνουσα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6975
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Τέμνονται στην τέμνουσα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am

Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Τέμνονται στην τέμνουσα.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 195 φορές
Από σημείο P φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB ενός κύκλου (O) και μία τυχούσα τέμνουσα PCD.

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών C\widehat AD, C\widehat BD τέμνονται πάνω στην PD.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1419
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τέμνονται στην τέμνουσα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Απρ 11, 2018 3:57 pm

george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am
Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Από σημείο P φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB ενός κύκλου (O) και μία τυχούσα τέμνουσα PCD.

Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών C\widehat AD, C\widehat BD τέμνονται πάνω στην PD.

Έστω \displaystyle AK διχοτόμος της \displaystyle \angle CAD

Είναι, \displaystyle \angle KAP = x + y = \varphi  \Rightarrow PA = PK = PB \displaystyle  \Rightarrow \omega  = {B_1} + \theta  = \theta  + {B_2} \Rightarrow \boxed{{B_1} = {B_2}}
T.S.T.png
T.S.T.png (19.36 KiB) Προβλήθηκε 155 φορές


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3793
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Τέμνονται στην τέμνουσα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Απρ 11, 2018 6:29 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 6:27 pm
george visvikis έγραψε:
Τετ Απρ 11, 2018 11:50 am
Τέμνονται στην τέμνουσα.png
Από σημείο P φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PA, PB ενός κύκλου (O) και μία τυχούσα τέμνουσα PCD. Να δείξετε ότι οι διχοτόμοι των γωνιών C\widehat AD, C\widehat BD τέμνονται πάνω στην PD.
Ας δούμε και μια λύση εκτός φακέλου (Προφανώς και η ενδεδειγμένη λύση είναι του Μιχάλη (θα μπορούσε με το ίδιο σκεπτικό να χρησιμοποιηθεί το Θεώρημα Διχοτόμων - ομοιότητα τριγώνων - αντίστροφο Θεωρήματος διχοτόμου).

Αν M είναι το μέσο της DC τότε από την προφανή ομοκυκλικότητα των A,M,O,B,P (σε κύκλο διαμέτρου OP ) προκύπτει ότι η ευθεία MP είναι η ευθεία της διχοτόμου του τριγώνου \vartriangle AMB και συνεπώς το έγκεντρό του βρίσκεται επί της PCD με AB την ευθεία των A-,B- συμμετροδιαμέσων των τριγώνων \vartriangle ADC,\vartriangle BDC αντίστοιχα προκύπτει άμεσα το ζητούμενο (το σημείο K δηλαδή του σχήματος είναι το έγκετρο του \vartriangle AMB)


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 9818
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τέμνονται στην τέμνουσα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 11, 2018 7:22 pm

Πόρισμα.png
Πόρισμα.png (22.31 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές
Πόρισμα : Αν δύο κύκλοι (O),(P) τέμνονται ορθογωνίως στα A,B, η PCD είναι

μια τέμνουσα του (O) και K είναι το σημείο τομής του (P) με την PCD , τότε

η AK η είναι διχοτόμος της \widehat{DAC} , ( ομοίως η BK η διχοτόμος της \widehat{DBC} ) .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης