Εμβαδόν πενταγώνου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7306
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Εμβαδόν πενταγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 06, 2018 10:49 am

Εμβαδόν πενταγώνου.png
Εμβαδόν πενταγώνου.png (8.31 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές
Το ABCDE είναι ένα πεντάγωνο με A\widehat BC=A\widehat ED=90^0 και AB=BC, AE=ED, BE=a.

Να βρείτε το εμβαδόν του πενταγώνου συναρτήσει του a.



Λέξεις Κλειδιά:
nikkru
Δημοσιεύσεις: 333
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 26, 2009 6:42 pm

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikkru » Παρ Απρ 06, 2018 1:25 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Απρ 06, 2018 10:49 am
Εμβαδόν πενταγώνου.png
Το ABCDE είναι ένα πεντάγωνο με A\widehat BC=A\widehat ED=90^0 και AB=BC, AE=ED, BE=a.

Να βρείτε το εμβαδόν του πενταγώνου συναρτήσει του a.
Εμβαδόν πενταγώνου.png
Εμβαδόν πενταγώνου.png (19.25 KiB) Προβλήθηκε 124 φορές
.
Στρίβουμε το τμήμα BE δεξιόστροφα γύρω από το B κατά 90^o.

Το τρίγωνο BCN που προκύπτει είναι ίσο με το ABE όπως και το NCM είναι ίσο με το EDM.

Έτσι, (ABCDE)=(BAE)+(BEMC)+(EMD)=(BCN)+(BEMC)+(CNM)=(BEN)=\frac{a^2}{2},

αφού το τρίγωνο BEN είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
τελευταία επεξεργασία από nikkru σε Δευ Απρ 09, 2018 9:34 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Ανδρέας Πούλος
Δημοσιεύσεις: 1356
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν πενταγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ανδρέας Πούλος » Δευ Απρ 09, 2018 6:31 pm

Πολύ μου άρεσε η λύση του nikkru, διότι είναι πολύ κοντά στο πνεύμα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας.
Δίνω και μια λύση που βασίζεται σε Τριγωνομετρία και ένα τύπο για εμβαδόν τριγώνου με τη χρήση του ημιτόνου μιας γωνίας.
Φέρουμε τις διαγώνιες AC και AD . Ονομάζουμε AB =BC = b, AE = CE = c και τις γωνίες ABE = x AEB = y όπως στο συνημμένο σχήμα.
Ισχύει
(ABCDE) = (ABC) + (ACD)  + (ADE) = \frac{x^{2}}{2} +\frac{y^{2}}{2} + \frac{b\sqrt{2}c\sqrt{2}cos(x+y)}{2}.

Από τον νόμο των ημιτόνων στο τρίγωνο ABE έχουμε  \frac{b}{sinx}=\frac{c}{siny}=\frac{a}{cos(x+y)}
Άρα,
(ABCDE) =  \frac{a^{2}}{2}\left [ sinx^{2}+ siny^{2} + 2sinx\cdot siny\cdot cos(x+y))]/cos^2(x+y)
[(ABCDE) =  \frac{a^{2}}{2}\left
Συνημμένα
άσκηση με πεντάγωνο.png
άσκηση με πεντάγωνο.png (33.49 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης