Λόγος σε..ύψωμα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1466
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Λόγος σε..ύψωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Απρ 03, 2018 1:48 pm

Χαιρετώ όλους.
3-4-18 ..εις την τετάρτην.PNG
3-4-18 ..εις την τετάρτην.PNG (6.57 KiB) Προβλήθηκε 497 φορές
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και τον εγγεγραμμένο κύκλο του.
Τα  M\in AB ..N\in AC ώστε η MEN να εφάπτεται του κύκλου στο E και να είναι MEN \parallel  BC.

Η EFH είναι κάθετη στις MN, BC στα  E,F αντίστοιχα και τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου BC στο H.

Αν είναι \dfrac{FH}{FE}=k τότε 1) Να υπολογιστεί , σε σχέση με το k , ο λόγος \lambda = \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( MAN \right )}

Αν μας δοθεί k= sin \dfrac{\pi }{3} τότε 2) Να εξεταστεί αν ο \lambda είναι μονοψήφιος φυσικός αριθμός.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10749
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Λόγος σε..ύψωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 05, 2018 6:38 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 1:48 pm
Χαιρετώ όλους.
3-4-18 ..εις την τετάρτην.PNG
Θεωρούμε τρίγωνο ABC και τον εγγεγραμμένο κύκλο του.
Τα  M\in AB ..N\in AC ώστε η MEN να εφάπτεται του κύκλου στο E και να είναι MEN \parallel  BC.

Η EFH είναι κάθετη στις MN, BC στα  E,F αντίστοιχα και τέμνει το ημικύκλιο διαμέτρου BC στο H.

Αν είναι \dfrac{FH}{FE}=k τότε 1) Να υπολογιστεί , σε σχέση με το k , ο λόγος \lambda = \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( MAN \right )}

Αν μας δοθεί k= sin \dfrac{\pi }{3} τότε 2) Να εξεταστεί αν ο \lambda είναι μονοψήφιος φυσικός αριθμός.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλησπέρα!

Έστω 2s η περίμετρος του ABC και h το ύψος του.
Λόγος σε...ύψωμα.png
Λόγος σε...ύψωμα.png (11.67 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές
1) \displaystyle k = \frac{{\sqrt {BF \cdot FC} }}{{2r}} = \frac{{\sqrt {(s - b)(s - c)} }}{{2r}} = \frac{{\dfrac{{(BAC)}}{{\sqrt {s(s - a)} }}}}{{2r}} = \frac{{sr}}{{2r\sqrt {s(s - a)} }} \Rightarrow {k^2} = \frac{s}{{4(s - a)}} \Leftrightarrow

\boxed{\dfrac{s}{{s - a}} = 4{k^2}} (1) Αλλά, \displaystyle \frac{{ah}}{2} = sr \Leftrightarrow h = \frac{{2rs}}{a} και \displaystyle {h_1} = h - 2r = \frac{{2r(s - a)}}{a}.

Άρα, \displaystyle \frac{h}{{{h_1}}} = \frac{s}{{s - a}}\mathop  = \limits^{(1)} 4{k^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{h}{{{h_1}}}} \right)^2} = 16{k^4} \Leftrightarrow \frac{{(BAC)}}{{(MAN)}} = 16{k^4} \Leftrightarrow \boxed{\lambda=16k^4}

2) \displaystyle k = \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \boxed{\lambda=9} μονοψήφιος φυσικός αριθμός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης