Τόπος και λόγος

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλημέρα.

: Τόπος και λόγος.PNG (8.71 KiB) Προβλήθηκε 766 φορές

Θεωρούμε κύκλο με κέντρο

και την χορδή του

με $\widehat{AOB}=30^{0}$ .

1) Να βρεθεί η γραμμή στην οποία ανήκουν τα σημεία , εσωτερικά του κύκλου , με την ιδιότητα :
Αν οι ξανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα , να ισχύει

Τα E,Z

ανήκουν στον ως άνω τόπο και επιπλέον ισχύει OE=OZ=AB

.

2) Nα υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( ABEZ \right )}{\left ( AOB \right )}$

Ευχαριστώ , Γιώργος.

KARKAR · #2

: Τόπος.png (23.94 KiB) Προβλήθηκε 740 φορές

Για το 1ο : Το ABCD

είναι ισοσκελές τραπέζιο , οπότε εύκολα : $\widehat{AEO}=75^0$ ,

δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος του

είναι το εντός του κύκλου , τμήμα μικρότερου

κύκλου , από τα σημεία του οποίου η ακτίνα

φαίνεται υπό σταθερή γωνία 75^0

( ή

.

KARKAR · #3

: Τόπος β.png (24.97 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Τώρα εργαζόμαστε στον μικρό κύκλο . Λόγω της ισότητας AB=OE=r

,

βρίσκουμε εύκολα τις γωνίες του σχήματος , οπότε π.χ. :

$(ABEZ)=\dfrac{r^2}{2}(sin60^0+2sin90^0+sin120^0)=\dfrac{r^2}{2}(2+\sqrt{3})$

ενώ : $(OAB)=\dfrac{r^2}{2}(sin60^0+2sin150^0)=\dfrac{r^2}{2}(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2})$ :

και επομένως : $\dfrac{(ABEZ)}{(OAB)}=2$ .

#4

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Κυρ Μαρ 04, 2018 12:30 am
Καλημέρα.
Τόπος και λόγος.PNG
Θεωρούμε κύκλο με κέντρο και την χορδή του με $\widehat{AOB}=30^{0}$ .

1) Να βρεθεί η γραμμή στην οποία ανήκουν τα σημεία , εσωτερικά του κύκλου , με την ιδιότητα :
Αν οι ξανατέμνουν τον κύκλο στα αντίστοιχα , να ισχύει

Τα ανήκουν στον ως άνω τόπο και επιπλέον ισχύει .

2) Nα υπολογιστεί ο λόγος $\dfrac{\left ( ABEZ \right )}{\left ( AOB \right )}$

Ευχαριστώ , Γιώργος.

Αλλιώς για το

ο ερώτημα.

: Τόπος και Λόγος.png (17.11 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

Το τραπέζιο έχει βάσεις τις πλευρές του κανονικού εξαγώνου και του ισοπλεύρου τριγώνου που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο

ακτίνας

και ύψος το άθροισμα των αποστημάτων τους. Άρα: $\displaystyle (ABEZ) = \frac{{r + r\sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{r + r\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{r^2}}}{2}(2 + \sqrt 3 )$

$\displaystyle (AOB) = \frac{{AB \cdot OH}}{2} = \frac{r}{2}\left( {r + \frac{{r\sqrt 3 }}{2}} \right) = \frac{{{r^2}}}{4}(2 + \sqrt 3 ) \Rightarrow$ $\boxed{\frac{{(ABEZ)}}{{(AOB)}}=2}$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ.Ευχαριστώ τον Θανάση και τον Γιώργο για την κάλυψη του θέματος !
Ας δούμε , όσον αφορά τον τόπο , την γενίκευση που ακολουθεί

: 6-3-18 Γεωμετρικός τόπος.PNG (7.75 KiB) Προβλήθηκε 650 φορές

Θεωρούμε τον κύκλο (O,R)

και χορδή του

με

.
Θα δείξουμε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

στο εσωτερικό του κύκλου
με την ιδιότητα : αν οι AE,BE

ξανατέμνουν τον κύκλο στα C,D

αντίστοιχα να ισχύει CD=AB

είναι το εντός του κύκλου τόξο που ορίζουν τα A,O,B

Ισχύει $\widehat{AEB}=\dfrac{\overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{CD}}{2}..\left ( 1 \right )$ (εφαρμογή του σχολικού στην παράγραφο 6.3

)

I) Αν $CD=AB \Leftrightarrow \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$ τότε $\widehat{AEB}= \overset{\frown}{AB}=\widehat{AOB}$ δηλ το

ανήκει στο πράσινο τόξο AOB

και αντίστροφα

ΙΙ) Αν το

ανήκει στο πράσινο τόξο AOB

τότε $\widehat{AEB}= \overset{\frown}{AB}$ και λόγω της (1)

προκύπτει $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD} \Leftrightarrow AB=CD$

Άρα πράγματι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το τόξο AOB

... Φιλικά Γιώργος .

Τόπος και λόγος

Τόπος και λόγος

Re: Τόπος και λόγος

Re: Τόπος και λόγος

Re: Τόπος και λόγος

Re: Τόπος και λόγος

Μέλη σε σύνδεση