Τι δεν βλέπει ο .. Λυκειόπαις ;

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 894
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τι δεν βλέπει ο .. Λυκειόπαις ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Φεβ 25, 2018 2:33 pm

Χαίρετε !
25-2-18 Τι δεν βλέπει ο ..Λυκειόπαις ;.PNG
25-2-18 Τι δεν βλέπει ο ..Λυκειόπαις ;.PNG (6.71 KiB) Προβλήθηκε 436 φορές
Τα PA,PB είναι εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο κέντρου O και M το μέσον του AB .

AB είναι η πολική του P ως προς τον κύκλο ). Ευθεία από το P τέμνει τον κύκλο στα E,Z.

Μπορούμε , με τη σχολική ύλη , να δείξουμε ότι \widehat{BEZ}=\widehat{AEM} ; Μ' άλλα λόγια τί δεν βλέπω ως .. Λυκειόπαις ;
Ευχαριστώ Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Τι δεν βλέπει ο .. Λυκειόπαις ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Κυρ Φεβ 25, 2018 3:18 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 25, 2018 2:33 pm

Χαίρετε !
25-2-18 Τι δεν βλέπει ο ..Λυκειόπαις ;.PNG
Τα PA,PB είναι εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο κέντρου O και M το μέσον του AB .

AB είναι η πολική του P ως προς τον κύκλο ). Ευθεία από το P τέμνει τον κύκλο στα E,Z.

Μπορούμε , με τη σχολική ύλη , να δείξουμε ότι \widehat{BEZ}=\widehat{AEM} ; Μ' άλλα λόγια τί δεν βλέπω ως .. Λυκειόπαις ;
Ευχαριστώ Γιώργος.
Έστω K η τομή κύκλου και MZ και L τομή κύκλου και EM
Tότε λόγω συμμετρίας EZKL ισοσκελές τραπέζιο .Άρα EL παράλληλη με ZK.
Λόγω αποστημάτων OM \perp ZK
Άρα ABZK ισοσκελές τραπέζιο.(1)
Από χορδής και εγγεγραμμένης έχουμε \angle AEK=\angle ABK και \angle BEZ=\angle BAZ
Από (1) έπεται \angle AEK=\angle BEZ


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7318
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τι δεν βλέπει ο .. Λυκειόπαις ;

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Φεβ 25, 2018 6:00 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 25, 2018 2:33 pm
Χαίρετε !
25-2-18 Τι δεν βλέπει ο ..Λυκειόπαις ;.PNG
Τα PA,PB είναι εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο κέντρου O και M το μέσον του AB .

AB είναι η πολική του P ως προς τον κύκλο ). Ευθεία από το P τέμνει τον κύκλο στα E,Z.

Μπορούμε , με τη σχολική ύλη , να δείξουμε ότι \widehat{BEZ}=\widehat{AEM} ; Μ' άλλα λόγια τί δεν βλέπω ως .. Λυκειόπαις ;
Ευχαριστώ Γιώργος.
Λυκειόπαις.png
Λυκειόπαις.png (13.56 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων PEB, PBZ και PEA, PAZ έχουμε:

\displaystyle \frac{{BE}}{{BZ}} = \frac{{PB}}{{PZ}} = \frac{{PA}}{{PZ}} = \frac{{AE}}{{AZ}} \Rightarrow \boxed{BE \cdot AZ = AE \cdot BZ}

Αλλά, (*)\displaystyle BE \cdot AZ + AE \cdot BZ = AB \cdot EZ \Leftrightarrow 2AE \cdot BZ = 2AM \cdot EZ \Leftrightarrow \displaystyle \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{EZ}}{{BZ}}

κι επειδή \displaystyle M\widehat AE = B\widehat ZE τα τρίγωνα MAE, BZE είναι όμοια, άρα \boxed{A\widehat EM=B\widehat EZ}


(*) Θεώρησα το θεώρημα Πτολεμαίου σχολική ύλη ( :roll: ), αφού υπάρχει άσκηση στο σχολικό βιβλίο.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6023
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τι δεν βλέπει ο .. Λυκειόπαις ;

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Φεβ 25, 2018 7:57 pm

Σαν μαθητής_1.png
Σαν μαθητής_1.png (42.52 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές
Αν και η λύση του Mikemoke ( πολύ δυνατός σε όλα τα επίπεδα!) είναι η πιο στοιχειώδης και εκπληκτικά απλή. :clap2:


Το τετράπλευρο OZEM είναι εγγράψιμο ( Δύναμη σημείου και Θ. Ευκλείδη).


\boxed{\widehat x + \widehat \theta  + \widehat \phi  = \widehat y + \widehat \theta  + \widehat \phi  = 90^\circ  \Rightarrow \widehat x = \widehat y}

Περισσότερα μετά τον αγώνα ( αν γίνει)


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 894
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Τι δεν βλέπει ο .. Λυκειόπαις ;

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Φεβ 26, 2018 2:51 am

Καλημέρα! Να ευχαριστήσω θερμά τους mikemoke , Γιώργο και Νίκο για την άμεση ανταπόκριση !
Για τους Γιώργο και Νίκο ήταν αναμενόμενο να προσφέρουν υπέροχες λύσεις
αφού κατά τη γνώμη μου δικαιούνται τον τίτλο .. :) ..Μ.Ε.Γ.ΑΣ (Μόνιμος Εκτελεστής Γεωμετρικών Ασκήσεων) .

Για την αφετηρία της -θαυμάσιας στη συνέχεια- λύσης του φίλου mikemoke , θεωρώ ότι το συμπέρασμα για τα ισοσκελή τραπέζια
λόγω συμμετρίας δεν είναι αυτονόητο. Η ευθεία OP είναι βεβαίως άξονας συμμετρίας των A και B .
Τα Z και K φαίνονται συμμετρικά ως προς την OP (το ίδιο και τα E,L) αλλά αυτό νομίζω πως πρέπει να αποδειχθεί..
Έπειτα με το ABZK ως ισοσκελές τραπέζιο η λύση είναι υποδειγματική.
Φιλικά πάντοτε , Γιώργος.
26-2-18 Λυκειόπαις..PNG
26-2-18 Λυκειόπαις..PNG (8.28 KiB) Προβλήθηκε 280 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6023
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τι δεν βλέπει ο .. Λυκειόπαις ;

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Φεβ 26, 2018 10:14 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Φεβ 25, 2018 2:33 pm
Χαίρετε !
25-2-18 Τι δεν βλέπει ο ..Λυκειόπαις ;.PNG
Τα PA,PB είναι εφαπτόμενα τμήματα στον κύκλο κέντρου O και M το μέσον του AB .

AB είναι η πολική του P ως προς τον κύκλο ). Ευθεία από το P τέμνει τον κύκλο στα E,Z.

Μπορούμε , με τη σχολική ύλη , να δείξουμε ότι \widehat{BEZ}=\widehat{AEM} ; Μ' άλλα λόγια τί δεν βλέπω ως .. Λυκειόπαις ;
Ευχαριστώ Γιώργος.
Η πλήρης Λύση .

Φέρνω το απόστημα ON στη χορδή BZ , έτσι \widehat y = \widehat {{y_1}}\,\,(1) ( το μισό επικέντρου ισούται με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη ).

Από το Θ, Ευκλείδη στο \vartriangle BOP ισχύει : P{B^2} = PM \cdot PO\,\,(2) .

Το PB είναι εφαπτόμενο τμήμα άρα, P{B^2} = PE \cdot PZ\,\,(3) . Από τις (2)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,(3)

έχω : PM \cdot PO = PE \cdot PZ που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο MOZE είναι

εγγράψιμο συνεπώς , \widehat \phi  = {\widehat \phi _1}\,\,(4) . Αλλά και \widehat \theta  = \widehat {{\theta _1}}\,\,(5) ( βαίνουν στο ίδιο τόξο)

Τι δεν βλέπω σαν Λυκειοπαις.png
Τι δεν βλέπω σαν Λυκειοπαις.png (45.5 KiB) Προβλήθηκε 260 φορές
Στα τρίγωνα τώρα , AME\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NOZ ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  \widehat x + \widehat \phi  + \widehat \theta  = 90^\circ  \hfill \\ 
  \widehat {{y_1}} + \widehat {{\phi _1}} + \widehat {{\theta _1}} = 90^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)\,,\,(4)\,,\,(5)} \left\{ \begin{gathered} 
  \widehat x + \widehat \phi  + \widehat \theta  = 90^\circ  \hfill \\ 
  \widehat y + \widehat \phi  + \widehat \theta  = 90^\circ  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\widehat x = \widehat y}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης