Εμβαδόν τετραπλεύρου

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Εμβαδόν τετραπλεύρου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 26, 2017 4:38 am

Εμβαδόν τετραπλεύρου_απο Γείτονα.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου_απο Γείτονα.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
Στο πιο πάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου : ABCD

Αν και έιναι εύκολα να γίνει με το μάτι "μαντεψιά" στο σχήμα( απολύτου ακριβείας), ζητείται πλήρης τεκμηρίωση.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12533
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Δεκ 26, 2017 9:37 am

Μάλλον λάθος δρόμο πήρα ...
δύσκολο εμβαδόν.png
δύσκολο εμβαδόν.png (15.52 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές
Με νόμο συνημιτόνων στα SAB,SPB παίρνω :

cosS=\dfrac{a^2-8}{a^2} και cosS=\dfrac{a^2+5a-16}{a^2+5a+4} .

Εξισώνοντας βρίσκω a=4 . Συνεπώς \hat{S}=60^0 .

Και πλέον εύκολα : (ABCD)=6\sqrt{3} .

Συμβολή στη τελική λύση είχαν οι Γιώργος Ρίζος , Μιχάλης Νάννος .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Τετ Δεκ 27, 2017 9:21 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Δεκ 26, 2017 10:22 am

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 26, 2017 9:37 am
δύσκολο εμβαδόν.pngΜάλλον λάθος δρόμο πήρα ...
Χρόνια πολλά . Εμένα πάντως μου άρεσε η λύση σου .


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Δεκ 26, 2017 10:30 am

Doloros έγραψε:
Τρί Δεκ 26, 2017 4:38 am
Εμβαδόν τετραπλεύρου_απο Γείτονα.png

Στο πιο πάνω σχήμα να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου : ABCD

Αν και έιναι εύκολα να γίνει με το μάτι "μαντεψιά" στο σχήμα( απολύτου ακριβείας), ζητείται πλήρης τεκμηρίωση.
Χρόνια Πολλά σε όλους!
Εμβαδόν τετραπλεύρου.D.png
Εμβαδόν τετραπλεύρου.D.png (10.76 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές
Νόμος συνημιτόνων στο ADB: \displaystyle 16 = B{D^2} + 16 - 8BD\cos \varphi  \Leftrightarrow BD = 8\cos \varphi

Νόμος συνημιτόνων στο DBC: \displaystyle 49 = B{D^2} + 1 - 2BD\cos ({180^0} - 3\varphi ) \Leftrightarrow 4{\cos ^4}\varphi  + {\cos ^2}\varphi  - 3 = 0

κι επειδή η γωνία \varphi είναι οξεία θα είναι \boxed{\varphi=30^0}, οπότε \displaystyle BD = 4\sqrt 3 ,D\widehat BC = {90^0}.

\displaystyle (ABCD) = (ADB) + (BDC) = \frac{{16\sin {{120}^0}}}{2} + \frac{{4\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \boxed{(ABCD)=6\sqrt 3}

Χρησιμοποίησα τον τύπο \boxed{\cos 3\varphi  = 4{\cos ^3}\varphi  - 3\cos \varphi }


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4867
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Εμβαδόν τετραπλεύρου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τρί Δεκ 26, 2017 12:13 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Δεκ 26, 2017 9:37 am
δύσκολο εμβαδόν.pngΜάλλον λάθος δρόμο πήρα ...
Χρόνια πολλά σε όλους. Βαδίζοντας στο δρόμο που χάραξε ο Θανάσης.

26-12-2017 Γεωμετρία.jpg
26-12-2017 Γεωμετρία.jpg (24.02 KiB) Προβλήθηκε 411 φορές

Από Ν. Συνημιτόνων στο AOB είναι  \displaystyle {4^2} = 2{x^2} - 2{x^2}\sigma \upsilon \nu \varphi  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{{x^2} - 8}}{{{x^2}}}

και στο DOC  \displaystyle {7^2} = {\left( {4 + x} \right)^2} + {\left( {1 + x} \right)^2} - 2\left( {4 + x} \right)\left( {1 + x} \right)\sigma \upsilon \nu \varphi  \Leftrightarrow \sigma \upsilon \nu \varphi  = \frac{{{{\left( {4 + x} \right)}^2} + {{\left( {1 + x} \right)}^2} - 49}}{{2\left( {4 + x} \right)\left( {1 + x} \right)}}

Οπότε  \displaystyle \frac{{{x^2} + 5x - 16}}{{{x^2} + 5x + 4}} = \frac{{{x^2} - 8}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow 3{x^2} - 10x - 8 = 0 \Leftrightarrow x = 4 .

Άρα OAB ισόπλευρο και  \displaystyle \widehat O = 60^\circ .

Οπότε  \displaystyle \left( {ABCD} \right) = \left( {OCD} \right) - \left( {OAB} \right) = \frac{{40\sqrt 3 }}{4} - \frac{{16\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης