Τριχοτόμος που διχοτομεί

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11719
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τριχοτόμος που διχοτομεί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Δεκ 22, 2017 2:09 pm

Το κυνήγι του  μέσου.png
Το κυνήγι του μέσου.png (9.87 KiB) Προβλήθηκε 419 φορές
Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο N της AC ,

ώστε : \widehat{CBN}=15^0 . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{CN}{NA} .

Στην προέκταση της BC εντοπίστε σημείο S , ώστε αν η BN , τμήσει το τμήμα

AS στο M , αυτό να είναι το μέσο της AS . Εξηγήστε γιατί τότε : AS=BC .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7355
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τριχοτόμος που διχοτομεί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Δεκ 22, 2017 4:14 pm

τριχοτόμος που διχοτομεί.png
τριχοτόμος που διχοτομεί.png (29.69 KiB) Προβλήθηκε 394 φορές
Αν AN = y \Rightarrow NB = 2y \Rightarrow AB = c = y\sqrt 3 \,.

1. \displaystyle \dfrac{{AN}}{{NC}} = \dfrac{y}{{c - y}} = \dfrac{{\dfrac{c}{{\sqrt 3 }}}}{{c - \dfrac{c}{{\sqrt 3 }}}} = \dfrac{{1 + \sqrt 3 }}{2}

2. Γράφω τον κύκλο ({K_1}) διαμέτρου BC = 2R που τέμνει την ευθεία BN ακόμα στο M, Προφανώς το \vartriangle OMA είναι ισόπλευρο και

OA \bot OB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OA = OB = OC = OM = AM .

Αν λοιπόν οι ευθείες BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM τμηθούν στο S, το ορθογώνιο τρίγωνο OSA \to (90^\circ ,30^\circ ,60^\circ )\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AM = MS.

3. Προφανώς δε AS = 2AM = 2R = BC

Η κατασκευή γίνεται και με άλλους τρόπους.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9591
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τριχοτόμος που διχοτομεί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Δεκ 22, 2017 5:05 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Δεκ 22, 2017 2:09 pm
Το κυνήγι του μέσου.pngΣτο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο \displaystyle ABC , θεωρούμε σημείο N της AC ,

ώστε : \widehat{CBN}=15^0 . Υπολογίστε το λόγο \dfrac{CN}{NA} .

Στην προέκταση της BC εντοπίστε σημείο S , ώστε αν η BN , τμήσει το τμήμα

AS στο M , αυτό να είναι το μέσο της AS . Εξηγήστε γιατί τότε : AS=BC .
Τριχοτόμος που διχοτομεί.png
Τριχοτόμος που διχοτομεί.png (16.78 KiB) Προβλήθηκε 389 φορές
α) \displaystyle \frac{{CN}}{{AN}} = \frac{{AC - AN}}{{AN}} = \frac{{AC}}{{AN}} - 1 = \frac{{AB}}{{AN}} - 1 = \tan {60^0} - 1 \Leftrightarrow \boxed{\frac{CN}{AN}=\sqrt 3-1}

β) Η κατασκευή όπως και ο Νίκος (με μικρές παραλλαγές, φέρνοντας \displaystyle CM \bot BN)

\displaystyle SM \cdot SA = S{O^2} - O{B^2} \Leftrightarrow \frac{{S{A^2}}}{2} = S{A^2} - A{B^2} \Leftrightarrow \boxed{SA = AB\sqrt 2  = BC}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης