Αναγωγή στη μονάδα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αναγωγή στη μονάδα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Νοέμ 27, 2017 10:07 pm

Αναγωγή  στη  μονάδα.png
Αναγωγή στη μονάδα.png (11.18 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές
Το τρίγωνο \displaystyle ABC έχει πλευρές με ακέραια μήκη . Φέρουμε τη διχοτόμο AD και τη

διάμεσο AM . Πόση τουλάχιστον πρέπει να είναι η διαφορά AC-AB , ώστε να είναι

δυνατόν το τμήμα DM , να έχει μήκος 1 ; Αναφέρατε παράδειγμα τέτοιου τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αναγωγή στη μονάδα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Νοέμ 28, 2017 10:23 am

Αναγωγή στη μονάδα_ok.png
Αναγωγή στη μονάδα_ok.png (18.31 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές
Η διαφορά πρέπει να είναι : b - c \geqslant 3 .

Παράδειγμα : a = 10,\,b = 9\,\,,c = 6

DM = 1 \Leftrightarrow BM - AD = 1 \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} - \dfrac{{ac}}{{b + c}} = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  b - c = \dfrac{{2(b + c)}}{a}\,\,\,(1) \hfill \\ 
  a = \dfrac{{2(b + c)}}{{b - c}}\,\,(2) \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Από την (1) λόγω τριγωνικής ανίσωσης πρέπει b - c > 2 και αφού οι πλευρές του τριγώνου είναι ακέραιοι προκύπτει \boxed{b - c \geqslant 3}

Από τη (2) προσδιορίζουμε διάφορες τιμές για τα a,b,c. Έτσι για παράδειγμα :

Με b = 9,\,c = 6\,\, έχω \boxed{a = \dfrac{{2 \cdot 15}}{3} = 10} δηλαδή το άθροισμα των πλευρών που θα έχουν διαφορά 3 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 3.

Πιο συγκεκριμένα :


\boxed{b = \frac{{3(k + 1)}}{2}\,\,} με k περιττό μεγαλύτερο του 1, \boxed{c = b - 3}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\boxed{a = \frac{{2(b + c)}}{3}}


ή \left\{ \begin{gathered} 
  a = 2k \hfill \\ 
  b = \frac{{3(k + 1)}}{2} \hfill \\ 
  c = \frac{{3(k - 1)}}{2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right.\,\,\,k \in \{ 3,5,7,9,...\}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Αναγωγή στη μονάδα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Νοέμ 28, 2017 6:00 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Νοέμ 27, 2017 10:07 pm
Αναγωγή στη μονάδα.pngΤο τρίγωνο \displaystyle ABC έχει πλευρές με ακέραια μήκη . Φέρουμε τη διχοτόμο AD και τη

διάμεσο AM . Πόση τουλάχιστον πρέπει να είναι η διαφορά AC-AB , ώστε να είναι

δυνατόν το τμήμα DM , να έχει μήκος 1 ; Αναφέρατε παράδειγμα τέτοιου τριγώνου .
Αναγωγή στη μονάδα.png
Αναγωγή στη μονάδα.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
Από το B φέρνω κάθετη στη διχοτόμο που την τέμνει στο N. Επειδή b>c, θα είναι:

\displaystyle N\widehat DM > {90^0} \Rightarrow NM > DM \Leftrightarrow \frac{{b - c}}{2} > 1 \Leftrightarrow b - c > 2, άρα η μικρότερη τιμή που μπορεί να πάρει

η διαφορά b-c είναι \boxed{b-c=3}

\displaystyle \frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}} = 1\mathop  \Leftrightarrow \limits^{b - c = 3} a = \frac{{2(b + c)}}{3} \Rightarrow b + c = 3k,k \in N^*

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
b + c = 3k\\ 
b - c = 3 
\end{array} \right. \Rightarrow c = \frac{{3(k - 1)}}{2} \Rightarrow k - 1 = 2m,m \in N^*, οπότε \boxed{c=3m, b=3m+3, a=4m+2}

Το πρώτο τρίγωνο αυτής της σειράς (για m=1) είναι το ισοσκελές (a=b=6, c=3)
Αναγωγή στη μονάδα.b.png
Αναγωγή στη μονάδα.b.png (8.05 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες