Τετράπλευρο 13.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 1.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 974 φορές

Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι και $\Gamma \Delta =7$ .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου $B\Delta$ .

hlkampel · #2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι και $\Gamma \Delta =7$ .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου $B\Delta$ .

Φάνη καλησπέρα.

Το ${\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta$ είναι εγγράψιμο αφού $\widehat {\rm A} + \widehat \Gamma = 180^\circ$ έτσι $\widehat {{\rm B}\Delta \Gamma } = \widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 2\theta$

Από το ορθ. τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}\Delta$ είναι $\eta \mu \theta = \dfrac{3}{{{\rm B}\Delta }}\,\,\,\left( 1 \right)$

Από το ορθ. τρίγωνο ${\rm B}\Gamma \Delta$ είναι:

$\sigma \upsilon \nu 2\theta = \dfrac{7}{{{\rm B}\Delta }} \Leftrightarrow 1 - 2\eta {\mu ^2}\theta = \dfrac{7}{{{\rm B}\Delta }}\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}$

$1 - \dfrac{{18}}{{{\rm B}{\Delta ^2}}} = \dfrac{7}{{{\rm B}\Delta }} \Leftrightarrow {\rm B}{\Delta ^2} - 7{\rm B}\Delta - 18 = 8 \Leftrightarrow {\rm B}\Delta = 9\,\,\dot \eta \,\,{\rm B}\Delta = - 2$

Άρα ${\rm B}\Delta = 9$

Διονύσιος Αδαμόπουλος · #3

Έστω

το σημείο τομής της

και

.

Έχουμε:

$\widehat{ABK}=\widehat{ABD} = 90^o-\theta$

$\widehat{AKB} = 90^o-2\theta+\theta=90^o-\theta$

Άρα το τρίγωνο ABK

είναι ισοσκελές και AK=AB=3

.

Το

είναι εγγράψιμο, επομένως $\widehat{ACB}=\theta$

Έχουμε:

$\widehat{DCK}= 90^o-\theta$

$\widehat{CKD} = \widehat{AKB} =90^o-\theta$

Άρα το τρίγωνο CDK

είναι ισοσκελές και KD=CD=7

.

Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ABK

έχουμε:

$\dfrac{BK}{\sin 2\theta} = \dfrac{3}{\sin (90^o-\theta)} \Rightarrow BK = \dfrac{3\sin 2\theta}{\sin (90^o-\theta)} = \dfrac{3\sin 2\theta}{\cos \theta} = \dfrac{6\sin \theta \cos \theta }{\cos \theta} = 6\sin \theta$

Επομένως $BD = 6\sin \theta +7$ (1)

Όμως:

$\sin \theta = \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{3}{6\sin \theta +7} \Rightarrow 6\sin^2 \theta +7\sin \theta -3=0$

Λύνουμε την εξίσωση 6x^2+7x -3=0

και κρατάμε την θετική από τις δύο ρίζες $x=\dfrac{1}{3}$ , άρα $\sin \theta = \dfrac{1}{3}$

Τέλος με αντικατάσταση στη σχέση (1) παίρνουμε BD =9

#4

Αν η εφαπτομένη του κύκλου (A,B,C,D)

κόψει την

στο

και η

τη διάμετρο

στο

θα έχω :

$\widehat {{\theta _1}} = \widehat \theta = \widehat \omega$ και αφού το $\vartriangle ABE$ έχει εξωτερική γωνία στο

ίση με $2\widehat \theta$ θα είναι $\widehat \omega = \widehat \phi$ .

Μετά απ’ αυτά στο ορθογώνιο τρίγωνο BET

η

είναι διάμεσος και EA = AT = 3

. Αν θέσω $BC = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = x$ θα έχω , BE = u

.

Από την ομοιότητα $\vartriangle ABD \approx \vartriangle BTE$ έχω : $\dfrac{{AB}}{{BT}} = \dfrac{{BD}}{{TE}} \Rightarrow \dfrac{3}{x} = \dfrac{{2R}}{6} \Rightarrow \boxed{9 = xR\,}\,(1)$

: τετράπλευρο 13_Φάνης.png (34.77 KiB) Προβλήθηκε 951 φορές

Από το Π. Θ. στα τρίγωνα $CBD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BET$ έχω :

$\left\{ \begin{gathered} 4{R^2} = {u^2} + 49 \hfill \\ 36 = {x^2} + {u^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 4{R^2} = 36 - {x^2} + 49$ που λόγω της (1) δίδει :

$\frac{{4 \cdot 81}}{{{x^2}}} = 85 - {x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} = 4 \hfill \\ {x^2} = 81 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow x = 2$ και άρα $\boxed{BD = 2R = 9}$ .

Επιφυλάσσομαι για πιο απλή αμιγώς γεωμετρική λύση.

Πράγματι:

Μετά από την (1)

είναι απλό να δούμε ότι και το τρίγωνο DCT

είναι ισοσκελές με κορυφή το

άρα $DT = 7 \Rightarrow 2R - x = 7$

που λόγω της (1)

δίδει $x = 2 \Rightarrow BD = 2 + 7 = 9$

Ιστοσελίδα · #5

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm

Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι και $\Gamma \Delta =7$ .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου $B\Delta$ .

: τετράπλευρο-13.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 934 φορές

${\rm E}$ συμμετρικό του ${\rm B}$ ως προς ${\rm A}\Delta$ , τα $\triangleleft \Delta {\rm B}{\rm E}, \triangleleft {\rm A}{\rm B}{\rm Z},\Delta \Gamma {\rm Z}$ όμοια, οπότε $\dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{{x - 7}} \Leftrightarrow x = 9$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι και $\Gamma \Delta =7$ .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου $B\Delta$ .

Με $\displaystyle AS$ διχοτόμο της $\displaystyle \angle CAB$ κι επειδή $\displaystyle \theta + \angle ACD = {90^0} \Rightarrow \angle BSA = {90^0} \Rightarrow \boxed{BA = AP = 3}$

Ακόμη, $\displaystyle \angle ABP = \angle BPA = \angle PCD \Rightarrow \boxed{PD = CD = 7}$

Επειδή $\displaystyle \angle BOA = 2\theta = \angle CAB$ η $\displaystyle AB = 3$ είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle \vartriangle AOP$

Αν $\displaystyle BP = y$ θα είναι $\displaystyle A{B^2} = BP \cdot BO \Rightarrow 9 = y \cdot R \Rightarrow y = \frac{9}{R}$ και $\displaystyle 2R - y = 7$ .

Άρα $\displaystyle 2{R^2} - 7R - 9 = 0$ με δεκτή ρίζα $\displaystyle R = \frac{9}{2}$ .Επομένως , $\displaystyle \boxed{BD = 2R = 9}$

: T13.png (27.34 KiB) Προβλήθηκε 919 φορές

#7

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ του παραπάνω σχήματος είναι και $\Gamma \Delta =7$ .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου $B\Delta$ .

: Τετράπλευρο 13.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 890 φορές

Έστω

η προβολή του

στην

οπότε $B\widehat AE=B\widehat DA=\theta,$ άρα $\boxed{AB=AK=3}$

$\displaystyle C\widehat DK = 2\theta ,D\widehat KC = {90^0} - \theta \Rightarrow K\widehat CD = {90^0} - \theta \Leftrightarrow$ $\boxed{DC=DK=7}$

$\displaystyle A{B^2} = BE \cdot BD \Leftrightarrow 9 = \frac{{BK}}{2}(BK + 7) \Leftrightarrow BK = 2 \Leftrightarrow$ $\boxed{BD=9}$

Γενικά: Αν AB=a, CD=b,

τότε: $\boxed{BD = \frac{{ b + \sqrt {8{a^2} + {b^2}} }}{2}}$

Τετράπλευρο 13.

Τετράπλευρο 13.

Re: Τετράπλευρο 13.

Re: Τετράπλευρο 13.

Re: Τετράπλευρο 13.

Re: Τετράπλευρο 13.

Re: Τετράπλευρο 13.

Re: Τετράπλευρο 13.

Μέλη σε σύνδεση