Τετράπλευρο 13.
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Τετράπλευρο 13.
Καλησπέρα.
Στο τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι και .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου .
Στο τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι και .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου .
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τετράπλευρο 13.
Φάνη καλησπέρα.Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm1.png
Καλησπέρα.
Στο τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι και .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου .
Το είναι εγγράψιμο αφού έτσι
Από το ορθ. τρίγωνο είναι
Από το ορθ. τρίγωνο είναι:
Άρα
- Συνημμένα
-
- τετράπλευρο 13.png (15.55 KiB) Προβλήθηκε 962 φορές
Ηλίας Καμπελής
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Τετράπλευρο 13.
Έστω το σημείο τομής της και .
Έχουμε:
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και .
Το είναι εγγράψιμο, επομένως
Έχουμε:
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και .
Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε:
Επομένως (1)
Όμως:
Λύνουμε την εξίσωση και κρατάμε την θετική από τις δύο ρίζες , άρα
Τέλος με αντικατάσταση στη σχέση (1) παίρνουμε
Έχουμε:
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και .
Το είναι εγγράψιμο, επομένως
Έχουμε:
Άρα το τρίγωνο είναι ισοσκελές και .
Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο έχουμε:
Επομένως (1)
Όμως:
Λύνουμε την εξίσωση και κρατάμε την θετική από τις δύο ρίζες , άρα
Τέλος με αντικατάσταση στη σχέση (1) παίρνουμε
Houston, we have a problem!
Re: Τετράπλευρο 13.
Αν η εφαπτομένη του κύκλου κόψει την στο και η τη διάμετρο στο θα έχω :
και αφού το έχει εξωτερική γωνία στο ίση με θα είναι .
Μετά απ’ αυτά στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι διάμεσος και . Αν θέσω θα έχω , .
Από την ομοιότητα έχω :
Από το Π. Θ. στα τρίγωνα έχω :
που λόγω της (1) δίδει :
και άρα .
Επιφυλάσσομαι για πιο απλή αμιγώς γεωμετρική λύση.
Πράγματι:
Μετά από την είναι απλό να δούμε ότι και το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το άρα
που λόγω της δίδει
και αφού το έχει εξωτερική γωνία στο ίση με θα είναι .
Μετά απ’ αυτά στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι διάμεσος και . Αν θέσω θα έχω , .
Από την ομοιότητα έχω :
Από το Π. Θ. στα τρίγωνα έχω :
που λόγω της (1) δίδει :
και άρα .
Επιφυλάσσομαι για πιο απλή αμιγώς γεωμετρική λύση.
Πράγματι:
Μετά από την είναι απλό να δούμε ότι και το τρίγωνο είναι ισοσκελές με κορυφή το άρα
που λόγω της δίδει
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3536
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Τετράπλευρο 13.
συμμετρικό του ως προς , τα όμοια, οπότεΦανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm
Καλησπέρα.
Στο τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι και .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Τετράπλευρο 13.
Φανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm1.png
Καλησπέρα.
Στο τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι και .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου .
Με διχοτόμο της κι επειδή
Ακόμη,
Επειδή η είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του
Αν θα είναι και .
Άρα με δεκτή ρίζα .Επομένως ,
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τετράπλευρο 13.
Έστω η προβολή του στην οπότε άραΦανης Θεοφανιδης έγραψε: ↑Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm1.png
Καλησπέρα.
Στο τετράπλευρο του παραπάνω σχήματος είναι και .
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου .
Γενικά: Αν τότε:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες