Τετράπλευρο 13.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο 13.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm

1.png
1.png (9.15 KiB) Προβλήθηκε 666 φορές
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος είναι AB=3 και \Gamma \Delta =7.
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου B\Delta .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 947
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Τετράπλευρο 13.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Παρ Νοέμ 17, 2017 9:47 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος είναι AB=3 και \Gamma \Delta =7.
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου B\Delta .
Φάνη καλησπέρα.

Το {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta είναι εγγράψιμο αφού \widehat {\rm A} + \widehat \Gamma  = 180^\circ έτσι \widehat {{\rm B}\Delta \Gamma } = \widehat {{\rm B}{\rm A}\Gamma } = 2\theta

Από το ορθ. τρίγωνο {\rm A}{\rm B}\Delta είναι \eta \mu \theta  = \dfrac{3}{{{\rm B}\Delta }}\,\,\,\left( 1 \right)

Από το ορθ. τρίγωνο {\rm B}\Gamma \Delta είναι:

\sigma \upsilon \nu 2\theta  = \dfrac{7}{{{\rm B}\Delta }} \Leftrightarrow 1 - 2\eta {\mu ^2}\theta  = \dfrac{7}{{{\rm B}\Delta }}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

1 - \dfrac{{18}}{{{\rm B}{\Delta ^2}}} = \dfrac{7}{{{\rm B}\Delta }} \Leftrightarrow {\rm B}{\Delta ^2} - 7{\rm B}\Delta  - 18 = 8 \Leftrightarrow {\rm B}\Delta  = 9\,\,\dot \eta \,\,{\rm B}\Delta = - 2

Άρα {\rm B}\Delta  = 9
Συνημμένα
τετράπλευρο 13.png
τετράπλευρο 13.png (15.55 KiB) Προβλήθηκε 654 φορές


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Τετράπλευρο 13.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Παρ Νοέμ 17, 2017 10:01 pm

Έστω K το σημείο τομής της AC και BD.

Έχουμε:

\widehat{ABK}=\widehat{ABD} = 90^o-\theta

\widehat{AKB} = 90^o-2\theta+\theta=90^o-\theta

Άρα το τρίγωνο ABK είναι ισοσκελές και AK=AB=3.

Το ABCD είναι εγγράψιμο, επομένως \widehat{ACB}=\theta

Έχουμε:

\widehat{DCK}= 90^o-\theta

\widehat{CKD} = \widehat{AKB} =90^o-\theta

Άρα το τρίγωνο CDK είναι ισοσκελές και KD=CD=7.

Με νόμο ημιτόνων στο τρίγωνο ABK έχουμε:

\dfrac{BK}{\sin 2\theta} = \dfrac{3}{\sin (90^o-\theta)} \Rightarrow BK =  \dfrac{3\sin 2\theta}{\sin (90^o-\theta)} =  \dfrac{3\sin 2\theta}{\cos \theta} =  \dfrac{6\sin \theta \cos \theta }{\cos \theta} = 6\sin \theta

Επομένως BD =  6\sin \theta +7 (1)

Όμως:

\sin \theta = \dfrac{AB}{BD}=\dfrac{3}{6\sin \theta +7} \Rightarrow 6\sin^2 \theta +7\sin \theta -3=0

Λύνουμε την εξίσωση 6x^2+7x -3=0 και κρατάμε την θετική από τις δύο ρίζες x=\dfrac{1}{3}, άρα \sin \theta = \dfrac{1}{3}

Τέλος με αντικατάσταση στη σχέση (1) παίρνουμε BD =9


Houston, we have a problem!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7903
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τετράπλευρο 13.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Νοέμ 17, 2017 10:05 pm

Αν η εφαπτομένη του κύκλου (A,B,C,D) κόψει την AC στο E και η AC τη διάμετρο BD στο T θα έχω :

\widehat {{\theta _1}} = \widehat \theta  = \widehat \omega και αφού το \vartriangle ABEέχει εξωτερική γωνία στο A ίση με 2\widehat \theta θα είναι \widehat \omega  = \widehat \phi .

Μετά απ’ αυτά στο ορθογώνιο τρίγωνο BET η BA είναι διάμεσος και EA = AT = 3. Αν θέσω BC = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = x θα έχω , BE = u.

Από την ομοιότητα \vartriangle ABD \approx \vartriangle BTE έχω : \dfrac{{AB}}{{BT}} = \dfrac{{BD}}{{TE}} \Rightarrow \dfrac{3}{x} = \dfrac{{2R}}{6} \Rightarrow \boxed{9 = xR\,}\,(1)
τετράπλευρο  13_Φάνης.png
τετράπλευρο 13_Φάνης.png (34.77 KiB) Προβλήθηκε 643 φορές
Από το Π. Θ. στα τρίγωνα CBD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BET έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  4{R^2} = {u^2} + 49 \hfill \\ 
  36 = {x^2} + {u^2} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow 4{R^2} = 36 - {x^2} + 49 που λόγω της (1) δίδει :


\frac{{4 \cdot 81}}{{{x^2}}} = 85 - {x^2} \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} = 4 \hfill \\ 
  {x^2} = 81 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow x = 2 και άρα \boxed{BD = 2R = 9}.

Επιφυλάσσομαι για πιο απλή αμιγώς γεωμετρική λύση.

Πράγματι:

Μετά από την (1) είναι απλό να δούμε ότι και το τρίγωνο DCT είναι ισοσκελές με κορυφή το D άρα DT = 7 \Rightarrow 2R - x = 7

που λόγω της (1) δίδει x = 2 \Rightarrow BD = 2 + 7 = 9


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3319
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράπλευρο 13.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Νοέμ 17, 2017 10:58 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm

Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος είναι AB=3 και \Gamma \Delta =7.
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου B\Delta .
τετράπλευρο-13.png
τετράπλευρο-13.png (18.38 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές
{\rm E} συμμετρικό του {\rm B} ως προς {\rm A}\Delta , τα  \triangleleft \Delta {\rm B}{\rm E}, \triangleleft {\rm A}{\rm B}{\rm Z},\Delta \Gamma {\rm Z} όμοια, οπότε \dfrac{x}{6} = \dfrac{3}{{x - 7}} \Leftrightarrow x = 9


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2055
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τετράπλευρο 13.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Νοέμ 18, 2017 1:54 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος είναι AB=3 και \Gamma \Delta =7.
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου B\Delta .

Με \displaystyle AS διχοτόμο της \displaystyle \angle CAB κι επειδή \displaystyle \theta  + \angle ACD = {90^0} \Rightarrow \angle BSA = {90^0} \Rightarrow \boxed{BA = AP = 3}

Ακόμη, \displaystyle \angle ABP = \angle BPA = \angle PCD \Rightarrow \boxed{PD = CD = 7}

Επειδή \displaystyle \angle BOA = 2\theta  = \angle CAB η \displaystyle AB = 3 είναι εφαπτόμενη του περίκυκλου του \displaystyle \vartriangle AOP

Αν \displaystyle BP = y θα είναι \displaystyle A{B^2} = BP \cdot BO \Rightarrow 9 = y \cdot R \Rightarrow y = \frac{9}{R} και \displaystyle 2R - y = 7.

Άρα \displaystyle 2{R^2} - 7R - 9 = 0 με δεκτή ρίζα \displaystyle R = \frac{9}{2}.Επομένως , \displaystyle \boxed{BD = 2R = 9}
T13.png
T13.png (27.34 KiB) Προβλήθηκε 611 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10445
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράπλευρο 13.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Νοέμ 18, 2017 12:24 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Παρ Νοέμ 17, 2017 8:30 pm
1.png
Καλησπέρα.

Στο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta του παραπάνω σχήματος είναι AB=3 και \Gamma \Delta =7.
Υπολογίστε το μήκος της διαγωνίου B\Delta .
Τετράπλευρο 13.png
Τετράπλευρο 13.png (13.67 KiB) Προβλήθηκε 582 φορές
Έστω E η προβολή του A στην BD, οπότε B\widehat AE=B\widehat DA=\theta, άρα \boxed{AB=AK=3}

\displaystyle C\widehat DK = 2\theta ,D\widehat KC = {90^0} - \theta  \Rightarrow K\widehat CD = {90^0} - \theta  \Leftrightarrow \boxed{DC=DK=7}

\displaystyle A{B^2} = BE \cdot BD \Leftrightarrow 9 = \frac{{BK}}{2}(BK + 7) \Leftrightarrow BK = 2 \Leftrightarrow \boxed{BD=9}


Γενικά: Αν AB=a, CD=b, τότε: \boxed{BD = \frac{{  b + \sqrt {8{a^2} + {b^2}} }}{2}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: ΛΕΚΚΑΣ ΓΙΩΡΓΟΣ και 3 επισκέπτες