Τρίτο τμήμα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11361
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Τρίτο τμήμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Σεπ 23, 2017 12:27 pm

Νέο τμήμα.png
Νέο τμήμα.png (10 KiB) Προβλήθηκε 337 φορές
Στο ισόπλευρο ABC , είναι AS\perp PQ και BC=10. Υπολογίστε το BS



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8952
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίτο τμήμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 23, 2017 6:05 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Σεπ 23, 2017 12:27 pm
Νέο τμήμα.pngΣτο ισόπλευρο ABC , είναι AS\perp PQ και BC=10. Υπολογίστε το BS
Τρίτο τμήμα.png
Τρίτο τμήμα.png (15.22 KiB) Προβλήθηκε 308 φορές
x=4

Επεξεργασία: Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Σάβ Σεπ 23, 2017 7:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11921
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίτο τμήμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Σεπ 23, 2017 6:37 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Σεπ 23, 2017 12:27 pm
Στο ισόπλευρο ABC , είναι AS\perp PQ και BC=10. Υπολογίστε το BS

Ας το δούμε και με Αναλυτική αφού λύνεται "χωρίς σκέψη".

Με αρχή αξόνων το μέσον της BC , έχουμε τα σημεία B(-5,0), \, C(5,0), A( 0, 10 \sin 60), και  P(-5+3\cos 60, 3 \sin 60), Q(5-2\cos 60, 2 \sin 60), S(-5+x,0).

Η κλίση των PQ, \, AS είναι τώρα άμεση. Η συνθήκη καθετότητας μας δίνει μία πρωτοβάθμια ως πρoς x, συγκεκριμένα την \displaystyle{\frac {\frac {15}{2} }{- \frac {15}{2}(5-x) } = -1} , από όπου αμέσως x=4.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1767
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τρίτο τμήμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Σάβ Σεπ 23, 2017 6:49 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Σεπ 23, 2017 12:27 pm
Νέο τμήμα.pngΣτο ισόπλευρο ABC , είναι AS\perp PQ και BC=10. Υπολογίστε το BS
Με \displaystyle SD \bot AB,SE \bot AC είναι \displaystyle BD = \frac{x}{2},AD = 10 - \frac{x}{2},EC = \frac{{CS}}{2} = \frac{{10 - x}}{2},\displaystyle AE = 10 - \frac{{10 - x}}{2} = \frac{{10 + x}}{2}

\displaystyle AP \cdot AD = AK \cdot AS = AE \cdot AQ \Rightarrow 7\left( {10 - \frac{x}{2}} \right) = \left( {\frac{{10 + x}}{2}} \right) \cdot 8 \Rightarrow \boxed{x = 4}
tt.png
tt.png (26.01 KiB) Προβλήθηκε 298 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίτο τμήμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Σεπ 23, 2017 6:56 pm

Αν K η προβολή του Q στην AB και D το σημείο τομής των PQ\,\,\kappa \alpha \iota \,\,KC θα έχω:

Από Θεώρημα Μενελάου στο \vartriangle AKC με διατέμνουσα \overline {PDQ} .

\dfrac{{AP}}{{PK}} \cdot \dfrac{{KD}}{{DC}} \cdot \dfrac{{CQ}}{{QA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{{KD}}{{DC}} \cdot \dfrac{2}{8} = 1 \Rightarrow \dfrac{{KD}}{{DC}} = \dfrac{{12}}{7} και άρα \boxed{\dfrac{{KD}}{{KC}} = \dfrac{{12}}{{19}}}\,\,(1)

τρίτο τμήμα.png
τρίτο τμήμα.png (26.67 KiB) Προβλήθηκε 293 φορές
Από Θ συνημίτονου . στο \vartriangle AKC\,\, και Π. Θ. στο \vartriangle AKQ έχω :

\left\{ \begin{gathered} 
  K{C^2} = A{K^2} + A{C^2} - 2AK \cdot AC \cdot \cos 60^\circ  = 76 \hfill \\ 
  K{Q^2} = A{Q^2} - A{K^2} = 48 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. και άρα λόγω και της (1)

KD \cdot KC = \dfrac{{12}}{{19}}K{C^2} = \dfrac{{12}}{{19}} \cdot 76 = 48 = K{Q^2} , συνεπώς η KQ εφάπτεται του κύκλου

(Q,D,C) με αποτέλεσμα , \widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}} και αφού \widehat {{a_3}} = \widehat {{a_1}} ( οξείες με κάθετες πλευρές) θα

είναι \boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}} . Τώρα προφανώς \vartriangle ABS = \vartriangle CAK \Rightarrow \boxed{BS = AK = 4} .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης