Θεωρώ σύνθεση αντιστροφής με δύναμη 1 και συμμετρίας ως προς το
.(Το 1 δεν έχει σημασία,απλά είναι πιο κομψό).Αυτός ο μετασχηματισμός μετατρέπει τους κύκλους-γραμμές σε κύκλους-γραμμές.Συγκεκριμένα,οι ευθείες
γίνονται κύκλοι που περνούν από το
και το
.
To
γνωρίζουμε που βρίσκεται, ενώ το
μπορεί να κατασκευαστεί κλασικά.Επιπλέον,επιλέγοντας ένα τυχαίο σημείο σε κάθε μια απ' τις
και βρίσκοντας
τα αντιστροφοσύμμετρά τους (κλασικά) προσδιορίζουμε τους κύκλους-αντιστροφοσύμμετρους των ευθειών.
Μια ευθεία
που περνάει από το
μετατρέπεται στον εαυτό της, ενώ για τα
ισχύει
και άρα αναζητούμε το μέγιστο του
.
Το πρόβλημα τώρα ανάγεται στο να βρούμε τμήμα μέγιστου μήκους με άκρα στους δύο κύκλους που να περνάει από το
.Τα τρίγωνα
(για διάφορα
) είναι όμοια (spiral similarity) και επομένως το μέγιστο του
επιτυγχάνεται όταν επιτυγχάνεται το μέγιστο των
,δηλαδή για
αντιδιαμετρικά στους δύο κύκλους ως προς το
.
Συνοψίζοντας, για να βρεθούν τα
του προβλήματος λειτουργούμε ως εξής:Επιλέγοντας τυχαία σημεία στις πλευρές της δοσμένης γωνίας και φτιάχνοντας τους αντιστροφοσύμμετρους κύκλους των ευθειών,βρίσκουμε το αντιστροφοσύμμετρο του
(είτε κατασκευάζοντάς το είτε βλέποντας που κόβει ο ένας κύκλος τον άλλο) και έπειτα πάιρνουμε τα αντιδιαμετρικά του
ως προς τους 2 κύκλους.Αυτά τα σημεία είναι τα
και παίρνοντας τα αντιστροφοσύμμετρά τους παίρνουμε τα ζητούμενα
.
Να σημειωθεί ότι το κλειδί στην ουσία είναι ότι με την αντιστροφή κατασκευάζουμε το μήκος που ζητάει η άσκηση(
) κάτι που δίνει μια πολύ ευκολότερη αντιμετώπιση.(μόλις συνειδητοποίησα ότι είναι εκτός φακέλου...Παρόλα αυτά μπορεί να τροποποιηθεί).
ώστε να μεγιστοποιείται το 
.