Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1289
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Σεπ 16, 2017 12:48 am

Καλημέρα σε όλους . Το θέμα έχει ως αφετηρία του το ωραίο θέμα ΕΔΩ
16-9-17 Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα.PNG
16-9-17 Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα.PNG (11.09 KiB) Προβλήθηκε 367 φορές
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}=90^{0}. Θεωρούμε τα D\in AC..E\in AB

ώστε να είναι A\widehat{B}D=\widehat{B}/3 και A\widehat{C}E=\widehat{C}/3.

Οι BD,CE τέμνονται στο K και έστω L το έγκεντρο του τριγώνου BCK.

Ο κύκλος \left ( K, \rho =KE \right ) τέμνει τις προεκτάσεις των BL,CL στα I,Z αντίστοιχα .

1) Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα DEL, ZIK είναι ισόπλευρα κι' ακόμη ότι \left ( DEL \right )=3\left ( ZIK \right ).

Αν επιπλέον είναι BC=4DE τότε : 2) Να εξεταστεί αν ισχύει \left ( BCL \right )=48\left ( ZIL \right ).

Ευχαριστώ , Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1627
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Σεπ 16, 2017 11:50 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Σάβ Σεπ 16, 2017 12:48 am
Καλημέρα σε όλους . Το θέμα έχει ως αφετηρία του το ωραίο θέμα ΕΔΩ
16-9-17 Τριχοτομήσεις και ισόπλευρα.PNG
Στο τρίγωνο ABC του σχήματος είναι \widehat{A}=90^{0}. Θεωρούμε τα D\in AC..E\in AB

ώστε να είναι A\widehat{B}D=\widehat{B}/3 και A\widehat{C}E=\widehat{C}/3.

Οι BD,CE τέμνονται στο K και έστω L το έγκεντρο του τριγώνου BCK.

Ο κύκλος \left ( K, \rho =KE \right ) τέμνει τις προεκτάσεις των BL,CL στα I,Z αντίστοιχα .

1) Να δειχθεί ότι τα τρίγωνα DEL, ZIK είναι ισόπλευρα κι' ακόμη ότι \left ( DEL \right )=3\left ( ZIK \right ).

Αν επιπλέον είναι BC=4DE τότε : 2) Να εξεταστεί αν ισχύει \left ( BCL \right )=48\left ( ZIL \right ).

Ευχαριστώ , Γιώργος
Γεια σου Γιώργο!

α) Έστω \widehat{EBD}=\widehat{DBL}=\widehat{LBC}=\phi, \widehat{ACE}=\widhat{ECL}=\widehat{LCB}=\omega.

Εύκολα, \phi+\omega=30^\circ, οπότε \widehat{ZLI}=150^\circ \Rightarrow \widehat{ZKI}=2\widehat{ZEI}=2(180^\circ-\widehat{ZLI})=60^\circ \mathop \Rightarrow \limits^{KZ=KI} \vartriangle KZI ισόπλευρο.

Από εδώ είναι BE=BL, και αφού \widehat{EBK}=\widehat{KBL}, η BK είναι η μεσοκάθετος της EL \Rightarrow DE=DL, και όμοια ED=EL, επομένως και το \vartriangle DLE είναι ισόπλευρο.

Με Ν. Ημιτόνων στο \vartriangle KEL παίρνουμε EL=KZ \sqrt{3}, και άρα (EDL)=3(KZI).

β) Με Ν. Ημιτόνων στα \vartriangle BKI, \vartriangle BKE και εξισώνοντας θα πάρουμε \sin \widehat{BEK}=\sin \widehat{BIK}, επομένως \widehat{BEK}=\widehat{BIK} ή \widehat{BEK}+\widehat{BIK}=180^\circ.

Αν \widehat{BEK}=\widehat{BIK}, τότε \vartriangle BEK=\vartriangle BIK \Rightarrow BI=BE=BL<BI, άτοπο.

Άρα \widehat{BEK}+\widehat{BIK}=180^{\circ} \Rightarrow \widehat{BIK}=90^\circ-\omega \Rightarrow

60^\circ+\widehat{ZIL}=90^\circ-\omega \Rightarrow \widehat{ZIL}=30^\circ-\omega=\phi=\widehat{LBC} \Rightarrow ZI \parallel BC.

Είναι BC=4DE=4\sqrt{3}ZI.

Είναι ZI \parallel BC \Rightarrow \vartriangle ZIL \sim \vartraingle BLC, και αφού BC=4\sqrt{3}ZI, (BLC)=(4\sqrt{3})^2(ZIL)=48(ZIL).


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες