Γύρω απ' τη διάμεσο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Γύρω απ' τη διάμεσο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Σεπ 09, 2017 5:28 pm

Γύρω απ' τη διάμεσο.png
Γύρω απ' τη διάμεσο.png (10.29 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές
Η διάμεσος AM τριγώνου ABC, \displaystyle AB < AC δίνεται από τη σχέση AM^2=AC^2-AB^2. To P είναι σημείο

της διαμέσου, ώστε CP=AB. Να δείξετε ότι BP=\dfrac{BC}{2}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Διονύσιος Αδαμόπουλος
Δημοσιεύσεις: 807
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας

Re: Γύρω απ' τη διάμεσο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Διονύσιος Αδαμόπουλος » Σάβ Σεπ 09, 2017 7:05 pm

Θα αλλάξουμε το πρόβλημα στο ισοδύναμο:

...Έστω σημείο S σημείο της διαμέσου ώστε BS=BM. Να αποδειχθεί CS=AB.

Αρκεί να αποδείξουμε πως τα τρίγωνα ABS και CSM είναι ίσα.

Αυτά έχουν CM=BM=BS από υπόθεση και \widehat{SMC}=\widehat{BSA}, καθώς είναι παραπληρωματικές ίσων γωνιών.

Αρκεί τώρα να αποδείξουμε πως MS=SA, δηλαδή πως η BS είναι διάμεσος του τριγώνου ABM.

Με άλλα λόγια αρκεί από το θεώρημα διαμεσών ότι:

4BS^2=2BA^2+2BM^2-AM^2\Leftrightarrow BC^2=2BA^2+2BM^2-AM^2\Leftrightarrow 2(\dfrac{BC}{2})^2+AM^2=2BA^2\Leftrightarrow 2(\dfrac{BC}{2})^2+AC^2-AB^2=2AB^2\Leftrightarrow BC^2+2AC^2=6AB^2.

Όμως έχουμε από τη συνθήκη πως AM^2=AC^2-AB^2\Leftrightarrow \dfrac{2AC^2+2AB^2-BC^2}{4}=AC^2-AB^2\Leftrightarrow BC^2+2AC^2=6AB^2 και το ζητούμενο έπεται.


Houston, we have a problem!
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γύρω απ' τη διάμεσο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Σεπ 10, 2017 4:55 pm

george visvikis έγραψε:
Σάβ Σεπ 09, 2017 5:28 pm
Γύρω απ' τη διάμεσο.png
Η διάμεσος AM τριγώνου ABC, \displaystyle AB < AC δίνεται από τη σχέση AM^2=AC^2-AB^2. To P είναι σημείο

της διαμέσου, ώστε CP=AB. Να δείξετε ότι BP=\dfrac{BC}{2}.
Έστω \displaystyle A' συμμετρικό του \displaystyle A ως προς \displaystyle M.Τότε, \displaystyle AB = A'C

Έστω ακόμη \displaystyle N συμμετρικό του \displaystyle B ως προς \displaystyle AMκαι \displaystyle C' συμμετρικό του \displaystyle C ως προς \displaystyle N.

Είναι, \displaystyle KM = ME = x \Rightarrow NC = 2x \Rightarrow C'C = 4x

Ισχύει

\displaystyle A{C^2} - A{B^2} = A{C^2} - C{A'^2} = 2x \cdot AA' = 4x \cdot AM \Rightarrow A{M^2} = 4x \cdot AM 
 
 \Rightarrow AM = 4x

Έτσι, \displaystyle CC' = //AM = //MA' \Rightarrow C'M = CA = AB = PC άρα \displaystyle C'PMC ισοσκελές τραπέζιο

κι επομένως η μεσοκάθετος \displaystyle BN της \displaystyle C'C είναι και μεσοκάθετος της \displaystyle PM

Επομένως \displaystyle \boxed{PB = BM = \frac{{BC}}{2}}
γύρω από τη διάμεσο.png
γύρω από τη διάμεσο.png (14.85 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης