"Βασικές" σχέσεις σε τρίγωνο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

"Βασικές" σχέσεις σε τρίγωνο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Αύγ 14, 2017 7:59 pm

FB1030.png
FB1030.png (33.86 KiB) Προβλήθηκε 482 φορές
Στο ίδιο πνεύμα με την Βρείτε την διαφορά.

Σε τρίγωνο ABC ας είναι AK το ύψος, AD η διχοτόμος και AM η διάμεσος.

Δείξτε τα παρακάτω :

α. 4\cdot MK \cdot MD=(b-c)^2

β. 2a=b+c \Longleftrightarrow MK=4 \cdot MD

γ. MK+MD \geq |b-c|


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5619
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: "Βασικές" σχέσεις σε τρίγωνο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Δευ Αύγ 14, 2017 10:44 pm

sakis1963 έγραψε: Σε τρίγωνο ABC ας είναι AK το ύψος, AD η διχοτόμος και AM η διάμεσος.
Δείξτε τα παρακάτω :
α. 4\cdot MK \cdot MD=(b-c)^2

β. 2a=b+c \Longleftrightarrow MK=4 \cdot MD

γ. MK+MD \geq |b-c|
Απλά για μία καλησπέρα στον φίλο Σάκη.

α) Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε:
BQ = c - b \Rightarrow ME = \frac{{c - b}}{2}. Προφανώς \widehat w = \widehat {\frac{{\text{A}}}{2}} = \widehat v. Άρα η ME είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο DKE, οπότε M{E^2} = MD \cdot MK ή 4MK \cdot MD = {\left( {b - c} \right)^2}.

β) Αρκεί με βάση το πρώτο ερώτημα, να αποδείξουμε ισοδύναμα ότι 2a = b + c \Leftrightarrow MK = \left| {b - c} \right|. Αυτό βγαίνει εύκολα από το δεύτερο θεώρημα της διαμέσου.

γ) Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας b \geqslant c. Έχουμε \displaystyle{MK \cdot MD = {k^2},\;\,k = \frac{{b - c}}{2}.} Αν MK + MD = t, τότε MK + \frac{{{k^2}}}{{MK}} = t \Leftrightarrow M{K^2} - tMK + {k^2} = 0, οπότε από διακρίνουσα κτλ., παίρνουμε {t_{\min }} = b - c.

sakis.png
sakis.png (19.48 KiB) Προβλήθηκε 457 φορές


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10645
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: "Βασικές" σχέσεις σε τρίγωνο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 15, 2017 1:13 am

sakis1963 έγραψε:FB1030.png
Στο ίδιο πνεύμα με την Βρείτε την διαφορά.

Σε τρίγωνο ABC ας είναι AK το ύψος, AD η διχοτόμος και AM η διάμεσος.

Δείξτε τα παρακάτω :

α. 4\cdot MK \cdot MD=(b-c)^2

β. 2a=b+c \Longleftrightarrow MK=4 \cdot MD

γ. MK+MD \geq |b-c|
Χαιρετώ την παρέα!

α) Από 2ο θεώρημα διαμέσων είναι \displaystyle{MK = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{{2a}} = \frac{{(b - c)(b + c)}}{{2a}}}.

Επίσης είναι \displaystyle{MD = \frac{a}{2} - BD = \frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}} = \frac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}}}. Άρα:\boxed{4MK \cdot MD = {(b - c)^2}}

β) \displaystyle{MK = \frac{{(b - c)2a}}{{2a}} = (b - c) = \frac{{4a(b - c)}}{{4a}} = 4\frac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}} \Leftrightarrow } \boxed{MK=4MD}

γ) Έστω b>c
\displaystyle{MK + MD = (b - c)\left( {\frac{{b + c}}{{2a}} + \frac{a}{{2(b + c)}}} \right) = (b - c)\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2bc}}{{2ab + 2ac}} > b - c}, που ισχύει επειδή

\displaystyle{{(a - b - c)^2} > 0 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2bc}}{{2ab + 2ac}}> 1}. (Ομοίως αν b<c)

Αν b=c ισχύει ως ισότητα 0=0. (Στις παραπάνω περιπτώσεις, λόγω τριγωνικής ανισότητας, δεν μπορεί τα δύο μέλη να γίνουν ίσα).


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης