Βρείτε τη διαφορά

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Βρείτε τη διαφορά

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Αύγ 14, 2017 12:39 am

FB1029c.png
FB1029c.png (33.66 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές
Σε τρίγωνο ABC, το εφαπτόμενο τμήμα ML, από το μέσον M της BC προς το κύκλο με διάμετρο την διχοτόμο AD είναι ML=1.

Βρείτε την διαφορά \mid b-c \mid


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1656
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Βρείτε τη διαφορά

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Αύγ 14, 2017 1:11 am

Γεια σου Σάκη.

Αν K το (δεύτερο) σημείο τομής του κύκλου με την BC έχουμε MK=BM-BK=\dfrac{a}{2}-c \cos \widehat{B}=\dfrac{b^2-c^2}{2a}, οπότε MK=\dfrac{b^2-c^2}{2a} (1).

Επίσης, DM=DC-MC=\dfrac{ab}{b+c}-\dfrac{a}{2}=\dfrac{ab-ac}{b+c} \Rightarrow DM=\dfrac{a(b-c)}{2(b+c)} (2).

Έτσι, ML^2=MD \cdot MK \mathop \Rightarrow \limits^{(1), (2)} \ldots \Rightarrow (b-c)^2=4 \Rightarrow \boxed{|b-c|=2}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε τη διαφορά

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Αύγ 14, 2017 9:13 am

Λίγο διαφορετικά

Ας υποθέσουμε π.χ. b > c . Έστω ακόμα K το άλλο εκτός του D σημείο τομής της BC με τον κύκλο.

Από το θεώρημα διχοτόμου στο \vartriangle ABC είναι

\boxed{DB = \frac{{ac}}{{b + c}} \Rightarrow DM = \frac{a}{2} - \frac{{ac}}{{b + c}} = \frac{{a(b - c)}}{{2(b + c)}}}\,\,(1) .Από δεύτερο θεώρημα διαμέσων στο

\vartriangle ABC και αφού AK \bot BC έχω {b^2} - {c^2} = 2aKM\,\,(2) .
Βρείτε τη διαφορά.png
Βρείτε τη διαφορά.png (26.33 KiB) Προβλήθηκε 512 φορές
Επίσης M{L^2} = MK \cdot MD \Rightarrow \boxed{MK = \frac{1}{{MD}}} που λόγω της (1) δίδει: \boxed{MK = \frac{{2(b + c)}}{{a(b - c)}}}\,\,(3)

Η (2) έτσι γράφεται : \boxed{(b - c)(b + c) = 2a\frac{{2(b + c)}}{{a(b - c)}} \Rightarrow {{(b - c)}^2} = 4 \Rightarrow |b - c| = 2}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8027
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Βρείτε τη διαφορά

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Αύγ 14, 2017 9:40 am

sakis1963 έγραψε:FB1029c.png
Σε τρίγωνο ABC, το εφαπτόμενο τμήμα ML, από το μέσον M της BC προς το κύκλο με διάμετρο την διχοτόμο AD είναι ML=1.

Βρείτε την διαφορά \mid b-c \mid
Μια ακόμη .

Πάλι έστω b > c

Φέρνω κάθετη από το B στη διχοτόμο που την τέμνει στο N και την AC στο E. Ας

είναι K η επί πλέον τομή της BC με τον κύκλο .

Είναι: \boxed{MK// = \frac{1}{2}EC = \frac{{b - c}}{2}}\,\,(1) , Επειδή MN//AC \Rightarrow \widehat \theta  = \widehat \omega . Αλλά από το

εγγράψιμο τετράπλευρο ABKN, \widehat \phi  = \widehat \omega και άρα \boxed{\widehat \theta  = \widehat \phi } που μας εξασφαλίζει ότι το
Βρείτε τη διαφορά_new.png
Βρείτε τη διαφορά_new.png (32.99 KiB) Προβλήθηκε 505 φορές
MN εφάπτεται του περιγεγραμμένου κύκλου στο \vartriangle NKD.

Έτσι θα έχουμε ταυτόχρονα : M{L^2} = MD \cdot MK\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M{N^2} = MD \cdot MK \Rightarrow MN = 1

Αρα λόγω της (1) b - c = 2 και προφανώς c - b = 2 , αν c > b . Άρα με b \ne c

έχω , |b - c| = 2.


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Βρείτε τη διαφορά

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Δευ Αύγ 14, 2017 8:06 pm

Ευχαριστώ τον Νίκο και το Ορέστη για της λύσεις τους και να προσθέσω μια παραλλαγή που αντιμετωπίζεται με τον ίδιο τρόπο.

Αν MN το εφαπτόμενο τμήμα προς τον έγκυκλο του ABC τότε ML=MN


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης