Ανακατωσούρα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11204
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ανακατωσούρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Αύγ 01, 2017 1:49 pm

Ανακατωσούρα.png
Ανακατωσούρα.png (10.08 KiB) Προβλήθηκε 398 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 ) , η διάμεσος BM τέμνει

το ύψος AD στο σημείο S . Αν AS=3SD , υπολογίστε το \sin\hat{C} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6951
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανακατωσούρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 01, 2017 2:31 pm

KARKAR έγραψε:Ανακατωσούρα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 ) , η διάμεσος BM τέμνει

το ύψος AD στο σημείο S . Αν AS=3SD , υπολογίστε το \sin\hat{C} .

Με Θ Μενελάου στο \vartriangle DAC και διατέμνουσα τη \overline {BSM} έχω :


\dfrac{{DS}}{{SA}} \cdot \dfrac{{AM}}{{MC}} \cdot \dfrac{{CB}}{{BD}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3} \cdot 1 \cdot \dfrac{{CB}}{{BD}} = 1 \Rightarrow \boxed{DC = 2DA} .Αν O το μέσο του BC και θέσω

DO = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DS = k θα είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  BD = 2u \hfill \\ 
  OC = 3u \hfill \\ 
  SA = 3k \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow SO//AC \Rightarrow \boxed{\theta  = C}
Ανακατοσούρα.png
Ανακατοσούρα.png (20.32 KiB) Προβλήθηκε 381 φορές
Επειδή A{D^2} = DB \cdot DC \Rightarrow \sqrt 2 k = u και άρα \displaystyle{\boxed{\tan \theta  = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}} , οπότε:

\sin C = \sin \theta  \Rightarrow {\sin ^2}C = \dfrac{1}{{1 + {{(\sqrt 2 )}^2}}} \Rightarrow \boxed{\sin C = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}



Παρατήρηση : Η άσκηση έχει και άλλες στοιχειώδεις ή μη, αλλά όμορφες λύσεις.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Ανακατωσούρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Τρί Αύγ 01, 2017 4:08 pm

Γράφουμε τον κύκλο (M,MA) που προφανώς περιέχει τα D,C. Όπως απέδειξε και ο κ. Νίκος ισχύει 3BD=BC. Επομένως: AB^2=BD\cdot BC από όπου εύκολα παίρνουμε ότι \sin \angle {BAD}=\dfrac {\sqrt{3}}{3}. Ομως από χορδής-εφαπτομένης (η AB εφάπτεται στον κύκλο στο A )είναι \angle BAD=\angle BAC και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8787
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ανακατωσούρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Αύγ 01, 2017 4:41 pm

Στο ίδιο σκεπτικό...επειδή BD=\dfrac{a}{3}, είναι: \displaystyle{{c^2} = \frac{{{a^2}}}{3} \Leftrightarrow } \boxed{\sin C = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1734
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ανακατωσούρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Αύγ 01, 2017 5:52 pm

KARKAR έγραψε:Ανακατωσούρα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 ) , η διάμεσος BM τέμνει

το ύψος AD στο σημείο S . Αν AS=3SD , υπολογίστε το \sin\hat{C} .
Με \displaystyle{E} μέσον της \displaystyle{AD \Rightarrow EM//BC} κι επειδή \displaystyle{SD = SE \Rightarrow BDME} παραλ/μμο \displaystyle{ \Rightarrow BE = DM = MC \Rightarrow BEMC} ισοσκελές τραπέζιο

Άρα οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες \displaystyle{ \Rightarrow B{D^2} = DE \cdot DA = 2D{E^2} \Rightarrow {\cot ^2}\theta  = \frac{{B{D^2}}}{{D{E^2}}} = 2}

Τώρα ,από τον γνωστό τύπο \displaystyle{1 + {\cot ^2}\theta  = \frac{1}{{{{\sin }^2}\theta }} \Rightarrow \boxed{\sin \theta  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}}}
ανακατωσούρα.png
ανακατωσούρα.png (20.03 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6951
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ανακατωσούρα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Αύγ 01, 2017 6:49 pm

KARKAR έγραψε:Ανακατωσούρα.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο \displaystyle ABC , ( \hat{A}=90^0 ) , η διάμεσος BM τέμνει

το ύψος AD στο σημείο S . Αν AS=3SD , υπολογίστε το \sin\hat{C} .
Ανακατωσούρα _new.png
Ανακατωσούρα _new.png (18.33 KiB) Προβλήθηκε 323 φορές
Φέρνω από το B παράλληλη στην AC που τέμνει την ευθεία AD στο T .

Επειδή στο \vartriangle BAC η BM είναι διάμεσος , η τετράδα (A,D\backslash S,T) είναι αρμονική

Συνεπώς AD = 2DT \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  AC = 2BT \hfill \\ 
  DC = 2BD \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Αλλά

\dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{{{b^2}}}{{{c^2}}} \Rightarrow 2{c^2} = {b^2} = {a^2} - {c^2} \Rightarrow 3{c^2} = {a^2} και άρα \boxed{\sin C = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης