Τρίγωνο από 3 σημεία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8767
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιούλ 21, 2017 6:29 pm

Doloros έγραψε:Άσκηση 20


Από τρία σημεία άσκηση 20.png

Σε τρίγωνο ABC με διχοτόμο AD, ύψος BK και διάμεσο CM δίδονται :

M( - 1,2)\,\,,\,\,D(1, - 4)\,\,,\,\,K(\dfrac{{17}}{5},\dfrac{6}{5}) . Να βρείτε τα A,\,\,B,\,\,C.

Με την παρατήρηση ότι το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο στο B
Έστω A(x_A, y_A), B(x_B, y_B), C(x_C, y_C)
3 σημεία-Φραγκάκης.png
3 σημεία-Φραγκάκης.png (9.93 KiB) Προβλήθηκε 690 φορές
Από το μέσο M του AB και από το γεγονός ότι \displaystyle{AK \bot BK,MB \bot BD} παίρνουμε τις εξισώσεις:

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
{x_A} + {x_B} =  - 2\\ 
{y_A} + {y_B} = 4\\ 
\dfrac{{1.2 - {y_A}}}{{3.4 - {x_A}}} \cdot \dfrac{{1.2 - {y_B}}}{{3.4 - {y_A}}} =  - 1\\ 
\dfrac{{2 - {y_B}}}{{ - 1 - {x_B}}} \cdot \dfrac{{4 + {y_B}}}{{{x_B} - 1}} =  - 1 
\end{array} \right. \Rightarrow } \boxed{x_B=-3} και \boxed{y_B=-2} (*)

Άρα \displaystyle{B( - 3, - 2)} και από τις δύο πρώτες εξισώσεις εύκολα βρίσκουμε A(1,6). Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας αυτές

τις συντεταγμένες και Π. Θ στα τρίγωνα ABC, BKC παίρνουμε \displaystyle{C\left( {\frac{{23}}{3}, - \frac{{22}}{3}} \right)}


(*) Από το σύστημα παίρνουμε και τη λύση A(-5, 4), B(3,0), αλλά απορρίπτεται γιατί το D βγαίνει εξωτερικό σημείο του BC.

Παρατηρήσεις: α) Δεν μου χρειάστηκε στη λύση η συνθήκη της διχοτόμου (η οποία αποδεικνύεται ότι πράγματι είναι). Αν δινόταν απλώς ότι το D(1, -4) είναι σημείο της ευθείας BC, τότε θα ήταν δεκτή και η λύση που απορρίφθηκε πιο πάνω.

β) Οι BK, AD τέμνονται πάνω στον x'x.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Ιούλ 21, 2017 11:14 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 4. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα σημεία που δίνονται σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις.
.β) O, I_a, I_b
Ας δούμε μία λύση ακόμα. Θυμίζει έντονα επίλυση τριγώνου...

Από τούς τύπους OI_a^2=R^2+2Rr_a,\,\,OI_b^2=R^2+2Rr_b,\,\,I_aI_b^2=4R(r_a+r_b)

βρίσκουμε R^2=\dfrac{2OI_a^2+2OI_b^2-I_aI_b^2}{4} (αναμενόμενο...(;)) και στην συνέχεια βρίσκουμε τα r_a,\,\,r_b.

Η κατασκευή γίνεται ως εξής: Γράφουμε το κύκλο (O,R) που τέμνει την I_aI_b σε ένα ή δύο σημεία. Αν τέμνει σε ένα σημείο αυτό είναι το C. Αν τέμνει σε δύο, το ένα είναι μέσο του I_aI_b και το άλλο το C(από το αναμενόμενο...(;)). Βρήκαμε λοιπόν το C.

Οι εφαπτόμενες στους κύκλους (I_a,r_a),\,\,\,(I_b, r_b) που άγονται από το C και είναι προς το μέρος του O είναι οι φορείς των CB,\,\,CA και οι τομές των με τον κύκλο (O,R) δίνουν τα B,\,\,A αντίστοιχα.
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Σάβ Ιούλ 22, 2017 9:27 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Παρ Ιούλ 21, 2017 11:30 pm

21. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα ίχνη των υψών του.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6937
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Ιούλ 22, 2017 10:20 am

Έστω D,E,Z τα δεδομένα ίχνη.

Ας είναι H το έγκεντρο του μη ορθογωνίου τριγώνου \vartriangle DEZ . Φέρνω τις εξωτερικές διχοτόμους του \vartriangle DEZ
Απο τρία σημεία ασκηση 21.png
Απο τρία σημεία ασκηση 21.png (21.12 KiB) Προβλήθηκε 648 φορές
που ανά δύο τέμνονται στα A,B,C .

Το \vartriangle ABC καθώς και τα \vartriangle HBC\,,\,\,\vartriangle HAB\,,\,\,\vartriangle HAC αποτελούν λύση του προβλήματος.

Αν το \vartriangle DEZ είναι ορθογώνιο τρίγωνο π.χ. στο D κάθε ευθεία παράλληλη,

με την ευρεία έννοια, στην EZ τέμνει τις δύο άλλες πλευρές σε σημεία που με το D

ορίζουν τρίγωνο που αποτελεί λύση


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Ιούλ 22, 2017 11:55 am

22. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από την κορυφήA το ορθοκεντρο H και το ίχνος D του ύψους από το A.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Ιούλ 22, 2017 12:38 pm

Ορέστης Λιγνός έγραψε:Άσκηση 15

Έστω οι ευθείες l_1,l_2,l_3 που συντρέχουν και σημείο A_1 της l_1.

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC ώστε το A_1 να είναι το μέσο της BC και οι l_1,l_2,l_3 οι μεσοκάθετοι των πλευρών του.
Πρώτα κατασκευάζουμε το τρίγωνο A_1B_1C_1 που έχει κορυφές τα μέσα των πλευρών του ζητούμενου:

Οι l_1, l_2,l_3 είναι τα ύψη του και A_1 μία από τις κορυφές. Από αυτά το A_1B_1C_1 κατασκευάζεται (φέρνουμε κάθετες από το A_1 στις l_2,l_3. Τα δεύτερα σημεία τομής είναι οι κορυφές B_1,C_1).

Τώρα, από τo A_1 φέρνουμε παράλληλη της B_1C_1, και πράττουμε το ανάλογο με τα B_1,C_1. Tα σημεία τομής τους είναι τα ζητούμενα. Για την απόδειξη μιμούμεθα τα βήματα της απόδειξης του Gauss για την σύγκλιση των υψών.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8767
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιούλ 22, 2017 7:20 pm

rek2 έγραψε:22. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από την κορυφήA το ορθοκεντρο H και το ίχνος D του ύψους από το A.
3 points-rek2.png
3 points-rek2.png (9.72 KiB) Προβλήθηκε 619 φορές
Από το D φέρνω ευθεία (\epsilon) κάθετη στην AD που ορίζει τη διεύθυνση της BC και έστω E το συμμετρικό του H ως προς D. Γράφω τυχαίο κύκλο που διέρχεται από τα σημεία A, E και τέμνει την (\epsilon) στα B, C. Το ABC είναι ένα από τα ζητούμενα τρίγωνα. Το πρόβλημα έχει άπειρες λύσεις.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11190
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιούλ 22, 2017 8:48 pm

KARKAR έγραψε:Άσκηση 18
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο A , τρίγωνο \displaystyle ABC , αν είναι γνωστά

το έγκεντρο I και τα ίχνη D,E των διχοτόμων BD και CE αντίστοιχα .
Ίχνη.png
Ίχνη.png (17.4 KiB) Προβλήθηκε 614 φορές
Αλλιώς : Επειδή \widehat{EAD}=90^0 και \widehat{IAD}=45^0 , η κορυφή A είναι η τομή του

κύκλου διαμέτρου ED , με τον κύκλο που βλέπει το τμήμα ID με γωνία 45^0 .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11190
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιούλ 22, 2017 9:30 pm

ίχνη 2.png
ίχνη 2.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 522 φορές
Επειδή και η καρτεσιανή λύση έχει ενδιαφέρον , βρείτε τις κορυφές στην παρακάτω

περίπτωση , αφού πρώτα δικαιολογήσετε γιατί \widehat{EID}=135^0 .
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Ιούλ 23, 2017 4:39 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Σάβ Ιούλ 22, 2017 11:26 pm

23. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διχοτόμοι του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 23, 2017 12:11 am

rek2 έγραψε:23. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διχοτόμοι του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.
Γράφουμε τον κύκλο που ορίζουν τα εν λόγω σημεία, ας τα ονομάσουμε I'_a, I'_b, I'_c, που είναι βέβαια ο περιγεραμμένος κύκλος του ζητούμενου τριγώνου. Τα I'_a, I'_b, I'_c είναι τα μέσα των τόξων που ορίζουν οι κορυφές του τριγώνου, και άρα οι εφαπτόμενες στον κύκλο στα σημεία αυτά είναι παράλληλες προς τις πλευρές του (άμεσο). Με άλλα λόγια οι εφαπτόμενες αυτές ορίζουν ένα τρίγωνο A'B'C' όμοιο προς το ζητούμενο. Το σημείο τομής των διχοτόμων του A'B'C' (γνωστό) είναι το αντίστοιχο ως προς την ομοιοθεσία του σημείου τομής I των διχοτόμων του ζητούμενου. Άρα το I προσδιορίζεται. Αν ενώσουμε τώρα τα I'_a, I'_b, I'_c με το I, τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα ζητούμενα σημεία A,B,C.


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 23, 2017 12:16 am

Άσκηση 24 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία τα ύψη του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Άσκηση 25 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διάμεσοί του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Προσθήκη αργότερα: Για την Άσκηση 25 έχω δύσκολη λύση που μάλλον ξεφεύγει από τον φάκελο. Θα χαρώ να δω κομψές λύσεις.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:39 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


harrisp
Δημοσιεύσεις: 537
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 28, 2015 8:49 pm

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από harrisp » Κυρ Ιούλ 23, 2017 12:31 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:Άσκηση 24 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία τα ύψη του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.
Φέρνουμε τον κύκλο που περνά απο τα σημεία αυτά που προφανώς θα είναι και ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου.

Τα μέσα των τόξων που ορίζουν τα δοθέντα σημεία είναι οι κορυφές του τριγώνου.




Θα βάλω απόδειξη της πρότασης αυτής αύριο!


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 23, 2017 1:26 am

ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε: Θα βάλω απόδειξη της πρότασης αυτής αύριο!
Σωστό.

Η πρόταση είναι γνωστή. Συνήθως την βλέπουμε στην ισοδύναμη μορφή: Αν τα ύψη τέμνουν την περιγεγραμμένη περιφέρεια στα D,E,F, τότε τα εν λόγω ύψη είναι διχοτόμοι του τριγώνου D\,EF.

Σημειώνω ότι το παραπάνω είναι μία από τις πολλές αποδείξεις του θεωρήματος ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν. Επίσης είναι ισοδύναμο με το ότι τα ύψη είναι διχοτόμοι του ορθικού τριγώνου: Το D\,EF και το ορθικό έχουν παράλληλες πλευρές.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:32 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιούλ 23, 2017 9:51 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
rek2 έγραψε:23. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία οι διχοτόμοι του τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.
Γράφουμε τον κύκλο που ορίζουν τα εν λόγω σημεία, ας τα ονομάσουμε I'_a, I'_b, I'_c, που είναι βέβαια ο περιγεραμμένος κύκλος του ζητούμενου τριγώνου. Τα I'_a, I'_b, I'_c είναι τα μέσα των τόξων που ορίζουν οι κορυφές του τριγώνου, και άρα οι εφαπτόμενες στον κύκλο στα σημεία αυτά είναι παράλληλες προς τις πλευρές του (άμεσο). Με άλλα λόγια οι εφαπτόμενες αυτές ορίζουν ένα τρίγωνο A'B'C' όμοιο προς το ζητούμενο. Το σημείο τομής των διχοτόμων του A'B'C' (γνωστό) είναι το αντίστοιχο ως προς την ομοιοθεσία του σημείου τομής I των διχοτόμων του ζητούμενου. Άρα το I προσδιορίζεται. Αν ενώσουμε τώρα τα I'_a, I'_b, I'_c με το I, τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα ζητούμενα σημεία A,B,C.

Αλλιώς, οι κορυφές του ζητούμενου τριγώνου είναι τα σημεία που τα ύψη του τριγώνου I'_a I'_b I'_c επανατέμνουν τον κύκλο.


Άβαταρ μέλους
rek2
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1827
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:13 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από rek2 » Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:16 am

26. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία η διχοτόμος το ύψος και η διάμεσος, που αντιστοιχούν στην ίδια κορυφή του, τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.

Παρατήρηση. Η διχοτόμος κείται μεταξύ ύψους και διαμέσου. Για οξεία γωνία βρίσκεται "πλησιέστερα" στην διάμεσο, για αμβλεία γωνία βρίσκεται "πλησιέστερα" στο ύψος και για ορθή γωνία "ισαπέχει" από διάμεσο και ύψος. (Οι "αποστάσεις" μετρώνται από τις αντίστοιχες γωνίες). Αυτό σημαίνει ότι στην παραπάνω εκφώνηση δεν είναι αναγκαίο να δίνεται ποιο σημείο αντιστοιχεί στο ύψος ή την διάμεσο ή την διχοτόμο.
τελευταία επεξεργασία από rek2 σε Κυρ Οκτ 01, 2017 8:02 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11190
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιούλ 23, 2017 10:44 am

Άσκηση 27
Τρία.png
Τρία.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές
Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνονται το περίκεντρο O , το μέσο M της AB

και το ίχνος D του ύψους AD . Το ενδιαφέρον εστιάζεται - κυρίως - στον υπολογισμό

των συντεταγμένων των κορυφών ! ( Αλλαγή στην αρίθμηση )
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Κυρ Ιούλ 23, 2017 6:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6937
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιούλ 23, 2017 11:18 am

KARKAR έγραψε:Άσκηση 26
Τρία.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνονται το περίκεντρο O , το μέσο M της AB

και το ίχνος D του ύψους AD . Το ενδιαφέρον εστιάζεται - κυρίως - στον υπολογισμό

των συντεταγμένων των κορυφών !
Απο τρία σημεία_ασκηση KARKAR_26.png
Απο τρία σημεία_ασκηση KARKAR_26.png (37.48 KiB) Προβλήθηκε 552 φορές
Αφού MD=MO , όλα απλά .


Γενικά : Γράφω το κύκλο κέντρου M κι ακτίνας OD . Η κάθετη στο M στην OM τέμνει αυτόν τον κύκλο στα B , C.

Τα υπόλοιπα απλά .


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11783
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Κυρ Ιούλ 23, 2017 2:33 pm

rek2 έγραψε:25. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία στα οποία η διχοτόμος το ύψος και η διάμεσος, που αντιστοιχούν στην ίδια κορυφή του, τέμνουν τον περιγεγραμμένο του κύκλο.
Έστω D,E, Z τα δοθέντα σημεία, αντίστοιχα, για το ύψος, την διχοτόμο και την διάμεσο από το A επί του περιγεγραμμένου κύκλου.

Γράφουμε τον κύκλο D,E,Z (=περιγεγραμμένος) οπότε βρίσκουμε το O. Επειδή το E είναι το μέσον του τόξου BC (ιδιότητα διχοτόμου), η OE είναι κάθετος στην BC και άρα παράλληλη της AD. Φέρνοντας από το D παράλληλο της OE, προσδιορίζουμε το A ως η τομή της με τον κύκλο.

Επειδή τα A,M_a,F είναι συνευθειακά (είναι η διάμεσος), βρίσκουμε το M_a ως την τομή των AZ, OE. Από το M_a φέρνουμε κάθετο στην OE. Αυτή τέμνει τον κύκλο στα B,C. Τελειώσαμε.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8767
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιούλ 23, 2017 5:29 pm

3 σημεία-28.png
3 σημεία-28.png (11 KiB) Προβλήθηκε 516 φορές
Άσκηση 28. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα σημεία M_a, H_c, P_b ( το μέσο της BC, το ίχνος του ύψους από την κορυφή C και το μέσο του BH αντίστοιχα).


ΥΓ. Έβαλα στην άσκηση τον αύξοντα αριθμό 28, γιατί έγινε κάποιο λάθος και υπάρχουν δύο ασκήσεις με τον αριθμό 25. Άρα η αμέσως προηγούμενη του Θανάση είναι η 27 και η πιο πριν του Κώστα η 26. Όποιος έχει πρόσβαση στο φάκελο ας διορθώσει την αρίθμηση.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 1 επισκέπτης