Ισοπλευρικός ενθουσιασμός

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοπλευρικός ενθουσιασμός

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Ιουν 28, 2017 10:00 am

"Χαζεύοντας" την άσκηση του Γιώργου , αυτή , μου ήρθε η φαεινή ιδέα :
Ισοπλευρικός  ενθουσιασμός.png
Ισοπλευρικός ενθουσιασμός.png (19.39 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές
Να τριπλασιάσω τη γωνία ... κι ότι προκύψει . Το αποτέλεσμα με ενθουσίασε ,

γι' αυτό και την παραθέτω χωρίς επεξεργασία : Στο ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC ,

τα σημεία D,E των πλευρών BC,AC , είναι τέτοια , ώστε BD=6 , CE=7

και \widehat{ADE}=3\widehat{BAD} . Υπολογίστε την πλευρά a , του τριγώνου .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοπλευρικός ενθουσιασμός

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Ιουν 28, 2017 6:49 pm

To τι λαγούς βγάζει ο κ. KARKAR από το "καπέλο" του , Στην Γεωμετρία και όχι μόνο!, είναι άλλο πράγμα! :clap2:

Το νούμερο που επαληθεύει είναι απρόσμενο !


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8931
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοπλευρικός ενθουσιασμός

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιουν 29, 2017 8:28 am

KARKAR έγραψε:"Χαζεύοντας" την άσκηση του Γιώργου , αυτή , μου ήρθε η φαεινή ιδέα :

Ισοπλευρικός ενθουσιασμός.pngΝα τριπλασιάσω τη γωνία ... κι ότι προκύψει . Το αποτέλεσμα με ενθουσίασε ,

γι' αυτό και την παραθέτω χωρίς επεξεργασία : Στο ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC ,

τα σημεία D,E των πλευρών BC,AC , είναι τέτοια , ώστε BD=6 , CE=7

και \widehat{ADE}=3\widehat{BAD} . Υπολογίστε την πλευρά a , του τριγώνου .
Καλημέρα σε όλους! Ωραίο εύρημα!
Ισοπλευρικός ενθουσιασμός.png
Ισοπλευρικός ενθουσιασμός.png (13.97 KiB) Προβλήθηκε 310 φορές
Φέρνω DZ||AB, τη διχοτόμο DH του τριγώνου DZE και θέτω ZH=x, οπότε HE=a-x-13.

Από θεώρημα διχοτόμων είναι: \boxed{\frac{x}{{a - x - 13}} = \frac{{DZ}}{{DE}}} και από τα όμοια τρίγωνα ABD, DZH, \boxed{\frac{6}{x} = \frac{{DZ}}{a} \Leftrightarrow DZ = \frac{{6a}}{x}}

Αλλά \boxed{DZ=a-6} και από νόμο συνημιτόνων στο DEC, \boxed{DE=\sqrt{a^2-19a+127}}

Από αυτές τις σχέσεις παίρνω: \displaystyle{\frac{6}{{{a^2} - 19a + 36}} = \frac{1}{{\sqrt {{a^2} - 19a + 127} }}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{{a^2} - 19a = t} \frac{6}{{t + 36}} = \frac{1}{{\sqrt {t + 127} }} \Leftrightarrow } \boxed{t=42}

και από a^2-19a-42=0, βρίσκω \boxed{a=21} (Η άλλη ρίζα απορρίπτεται)


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοπλευρικός ενθουσιασμός

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιουν 29, 2017 10:42 am

Ισοπλευρικός ενθουσιασμός_ok.png
Ισοπλευρικός ενθουσιασμός_ok.png (27.95 KiB) Προβλήθηκε 290 φορές
Έστω Z σημείο της BC έτσι ώστε \widehat {BAD} = \widehat {ZAD} = \widehat \phi , Τότε : \boxed{\widehat \omega  = \widehat \theta  = 60^\circ  - 2\widehat \phi }

Ο κύκλος (A,E,Z) διέρχεται από το D και έστω ότι τέμνει την AB στο T.

Αν θέσω : DZ = DT = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BT = x θα ισχύουν:

\left\{ \begin{gathered} 
  CE \cdot CA = CZ \cdot CD \hfill \\ 
  BT \cdot BA = BD \cdot BZ \hfill \\ 
  T{D^2} = B{T^2} + B{D^2} - BT \cdot BD \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  7a = (a - 6 - u)(a - 6) \hfill \\ 
  ax = 6(6 + u) \hfill \\ 
  {u^2} = {x^2} + 36 - x \cdot 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{a = 21}



Παρατήρηση :

Το σύστημα λύνεται χωρίς λογισμικό .

Από τις δύο πρώτες εύκολα έχουμε : \left\{ \begin{gathered} 
  u = \frac{{ax - 36}}{6} \hfill \\ 
  x = \frac{{6(a - 13)}}{{a - 6}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. οπότε η τρίτη μας οδηγεί στην

(a + 2)(a - 6)(a - 13)(a - 21) = 0


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης