Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 23, 2017 9:40 am

Ισόπλευρο.png
Ισόπλευρο.png (18.44 KiB) Προβλήθηκε 403 φορές
Στο - πλευράς a - ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , σχεδιάσαμε τον κύκλο που διέρχεται

από την κορυφή A και εφάπτεται της πλευράς BC , στο μέσο της M . Φέραμε

το εφαπτόμενο τμήμα BS . Υπολογίστε : α) Το \cos\theta ... β) Τη διαφορά : \omega-\phi



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8932
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Ιουν 23, 2017 11:26 am

KARKAR έγραψε:Ισόπλευρο.pngΣτο - πλευράς a - ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , σχεδιάσαμε τον κύκλο που διέρχεται

από την κορυφή A και εφάπτεται της πλευράς BC , στο μέσο της M . Φέραμε

το εφαπτόμενο τμήμα BS . Υπολογίστε : α) Το \cos\theta ... β) Τη διαφορά : \omega-\phi
α) Είμαι σίγουρος ότι υπάρχει ευκολότερος τρόπος.
Ισοπλευρικοί υπολογισμοί.png
Ισοπλευρικοί υπολογισμοί.png (18.68 KiB) Προβλήθηκε 378 φορές
Έστω a η πλευρά του ισοπλεύρου, οπότε \displaystyle{BS = BM = \frac{a}{2},OA = OM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}}.

Π. Θ στο OBM, \boxed{OB = \frac{{a\sqrt 7 }}{4}} (1) και Πτολεμαίου στο BSOM: \displaystyle{OB \cdot SM = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} } \boxed{SM = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}}


Με Πυθαγόρειο τώρα στο ASM παίρνω \boxed{AS = \frac{{3a\sqrt 7 }}{{14}}} και τέλος με ν. συνημιτόνων στο ASB, \boxed{\cos \theta  = \frac{{13}}{{14}}}

Το β) είναι απλό: \boxed{\omega  - \varphi  = S\widehat AM - S\widehat AB = B\widehat AM = {30^0}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 23, 2017 11:34 am

Ας αρχίσουμε από το δεύτερο που είναι απλούστατο.

\widehat \omega  = 90^\circ  + \widehat x = 90^\circ  + \widehat \phi  + 30^\circ  \Rightarrow \boxed{\widehat \omega  - \widehat \phi  = 120^\circ }.
Iσοπλευρικοί υπολογισμοί.png
Iσοπλευρικοί υπολογισμοί.png (32.18 KiB) Προβλήθηκε 373 φορές
Για το πρώτο : Ας είναι AB = BC = CA = 4 , τότε :

BS = BM = 2\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AS = 2KN\,\,(1) . Αλλά AM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3  \Rightarrow KM = \sqrt 3

Από το Π. Θ. στο \vartriangle MKB έχω , B{K^2} = B{M^2} + M{K^2} = 7 \Rightarrow BK = \sqrt 7.

Επειδή M{K^2} = KN \cdot KB \Rightarrow 3 = KN\sqrt 7 και άρα λόγω και της (1) έχω

\boxed{AS = \frac{6}{{\sqrt 7 }}} Από το Θ. συνημίτονου στο \vartriangle ASB ισχύει :

A{S^2} = B{A^2} + B{S^2} - 2BA \cdot BS\cos \theta , άρα

\dfrac{{36}}{7} = 16 + 4 - 2 \cdot 4 \cdot 2\cos \theta  \Rightarrow \boxed{\cos \theta  = \frac{{13}}{{14}}}


Εντάξει πήρα πιο μεγάλη γωνία σαν w αλλά η ουσία δεν αλλάζει .


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 11344
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Ιουν 23, 2017 11:50 am

Δημιούργησα την άσκηση , εμπνεόμενος από αυτή .

Κάτι όμως μου θύμιζε και ψάχνοντας , βρήκα αυτή :oops:


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Παρ Ιουν 23, 2017 2:49 pm

KARKAR έγραψε:Στο - πλευράς a - ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , σχεδιάσαμε τον κύκλο που διέρχεται

από την κορυφή A και εφάπτεται της πλευράς BC , στο μέσο της M . Φέραμε

το εφαπτόμενο τμήμα BS . Υπολογίστε : α) Το \cos\theta ... β) Τη διαφορά : \omega-\phi
Για το 1ο ερώτημα και για μια καλησπέρα στους φίλους.
Ισοπλευρικοί-υπολογισμοί.png
Ισοπλευρικοί-υπολογισμοί.png (22.66 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές
Φέρνω BN \bot SM,AT \bot BS και οι «πράσινες» γωνίες είναι ίσες με {90^ \circ } - \omega

Από τα όμοια τρίγωνα SAT,BSN,MAS παίρνουμε, κατόπιν κάποιων αρκετών πράξεων, ST = \dfrac{{6a}}{7}

Έτσι, \cos \theta  = \dfrac{{a + \frac{{6a}}{7}}}{{2a}} = \dfrac{{13}}{{14}}


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1765
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Παρ Ιουν 23, 2017 6:46 pm

KARKAR έγραψε:Ισόπλευρο.pngΣτο - πλευράς a - ισόπλευρο τρίγωνο \displaystyle ABC , σχεδιάσαμε τον κύκλο που διέρχεται

από την κορυφή A και εφάπτεται της πλευράς BC , στο μέσο της M . Φέραμε

το εφαπτόμενο τμήμα BS . Υπολογίστε : α) Το \cos\theta ... β) Τη διαφορά : \omega-\phi
1.\displaystyle{SA,BO \bot SM \Rightarrow SA//BO \Rightarrow 2\left( {SBA} \right) = 2\left( {SAO} \right) \Rightarrow \frac{{{\alpha ^2}}}{2}\sin \theta  = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)^2}\sin \left( {{{60}^0} + \theta } \right)} καταλήγοντας στην

\displaystyle{13\sin \theta  = 3\sqrt 3 \cos \theta  \Rightarrow 169\left( {1 - {{\cos }^2}\theta } \right) = 27{\cos ^2}\theta  \Rightarrow \boxed{\cos \theta  = \frac{{13}}{{14}}}}

2. \displaystyle{\omega  = \varphi  + {30^0} \Rightarrow \boxed{\omega  - \varphi  = {{30}^0}}}
ισοπλευρικοί υπολογισμοί.png
ισοπλευρικοί υπολογισμοί.png (18.98 KiB) Προβλήθηκε 316 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7024
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισοπλευρικοί υπολογισμοί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιουν 23, 2017 6:46 pm

Λέω για να έχουμε αυτό το εντυπωσιακό ρητό αποτέλεσμα ,

μάλλον υπάρχει «ρητή δίοδος της άσκησης».

Αν λοιπόν φέρω την εφαπτομένη του κύκλου στο A και κόψει την ευθεία BS στο

E θα είναι \widehat {EAB} = 60^\circ . Επειδή τώρα θέλω τριγωνομετρικό αριθμό

θεωρώ π.χ. \boxed{AB = BC = CA = 8} και θέτω \boxed{EA = ES = y}

Iσοπλευρικοί υπολογισμοί_new.png
Iσοπλευρικοί υπολογισμοί_new.png (28.24 KiB) Προβλήθηκε 312 φορές
Στο \vartriangle ABS εφαρμόζω δύο φορές το Θ. συνημίτονου:

1. B{E^2} = A{E^2} + A{B^2} - 2AE \cdot AB\cos 60^\circ και άρα

{(y + 4)^2} = {y^2} + 64 - 8y \Rightarrow 16y = 48 \Rightarrow y = 3 οπότε \boxed{BE = 7\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EA = 3}.

2. A{E^2} = B{E^2} + A{B^2} - 2BE \cdot AB\cos \theta και άρα

9 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8\cos \theta  \Rightarrow 8 \cdot 14\cos \theta  = 8 \cdot 13 \Rightarrow \boxed{\cos \theta  = \frac{{13}}{{14}}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες