Ρητό μήκος

KARKAR · #1

: Ρητό μήκος.png (18.49 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές

Το ισόπλευρο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , έχει πλευρά

. Ο κύκλος (O)

εφάπτεται

των πλευρών AB,BC

όπως φαίνεται στο σχήμα . Από το

φέρουμε

την άλλη εφαπτόμενη , η οποία τέμνει την προέκταση της

στο

.

Υπολογίστε το μήκος του τμήματος

.

#2

Ας είναι

το σημείο επαφής της

με τον κύκλο και

το μέσο του

.

Θέτω $\boxed{TS = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,NS = y}$ . Επειδή το τετράπλευρο OPCN

είναι εγγράψιμο θα

Ισχύει: $BP \cdot BC = BO \cdot BN \Rightarrow 24 = BO \cdot 3\sqrt 3 \Rightarrow \boxed{OB = \frac{8}{{\sqrt 3 }}}$ . εύκολα δε έχω μετά .

$\left\{ \begin{gathered} ON = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ OP = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

: Ρητό μήκος.png (25.37 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές

Τώρα βλέπουμε ότι και το τετράπλευρο ONTC

είναι εγγράψιμο άρα ,

$\displaystyle{SN \cdot SO = ST \cdot SC \Rightarrow \boxed{y(y + \frac{1}{{\sqrt 3 }}) = x(x + 2)}\,\,(1)}$ ενώ από το Π. Θ. στο $\vartriangle NCS$ έχω :

$\boxed{{y^2} + 9 = {{(x + 2)}^2}}\,\,(2)$ . Η (1)

λόγω της

δίδει: $y = \sqrt 3 (2x - 5)$ οπότε η (2)

μας

δίδει: $11{x^2} - 64x + 80 = 0$ με λύσεις : x = 4

( απορρίπτεται γιατί δεν επαληθεύει ) ή

$x = \dfrac{{20}}{{11}} \Rightarrow CS = 2 + \dfrac{{20}}{{11}} \Rightarrow \boxed{CS = \dfrac{{42}}{{11}}}$ .

Ρητό μήκος

Ρητό μήκος

Re: Ρητό μήκος

Μέλη σε σύνδεση