Απόσταση ..σκαλοπάτι !

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1088
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Απόσταση ..σκαλοπάτι !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιουν 18, 2017 2:16 pm

Γεια σας .
18-6-17 Απόσταση..σκαλοπάτι.PNG
18-6-17 Απόσταση..σκαλοπάτι.PNG (5.36 KiB) Προβλήθηκε 569 φορές
Στο τρίγωνο BAD είναι \widehat{A}=90^{0} . Έστω C το συμμετρικό του A ως προς την BD.

Αν είναι AB=3 και CD=\sqrt{18} τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του C από την AD.

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1476
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιουν 18, 2017 2:38 pm

Γεια σου Γιώργο!

Φέρνουμε BK \perp CE \, (K \in CE).

Προφανώς, BC=AB=3, AD=DC=\sqrt{18} (λόγω συμμετρίας).

Έστω CE=x. DE=y.

Τότε, BK=AE=\sqrt{18}-y.


Επίσης, CK=CE-KE=x-AB=x-3.

Σύμφωνα με τα παραπάνω, με Π.Θ. στα \vartriangle DCE, \vartriangle CBK παίρνουμε τις παρακάτω σχέσεις.

x^2+y^2=18 \, \, (1) \, (\sqrt{18}-y)^2+(x-3)^2=9 \, \, (2).

Η (2) μετά τις πράξεις γράφεται x^2+y^2+18=6y\sqrt{2}+6x \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 6y\sqrt{2}+6x=36 \Rightarrow y\sqrt{2}+x=6 (3).

Από (1), (3), 18=x^2+y^2=(6-y\sqrt{2})^2+y^2=3y^2-12y\sqrt{2}+36 \Rightarrow y^2-4y\sqrt{2}+6=0

\Rightarrow y=3\sqrt{2} ή y=\sqrt{2}.

Αν y=3\sqrt{2}, από την (1) προκύπτει x=0, άτοπο.

Άρα, y=\sqrt{2}, και \boxed{x=4}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3251
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Ιουν 18, 2017 3:52 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας .

Στο τρίγωνο BAD είναι \widehat{A}=90^{0} . Έστω C το συμμετρικό του A ως προς την BD.

Αν είναι AB=3 και CD=\sqrt{18} τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του C από την AD.

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος
Καλησπέρα!
Απόσταση-σκαλοπάτι.png
Απόσταση-σκαλοπάτι.png (22.25 KiB) Προβλήθηκε 540 φορές
Το CBAK είναι ρόμβος και εύκολα BO = OK = KD = \dfrac{{BD}}{3}

Έτσι, KE = \dfrac{{AB}}{3} = 1 και CE = 3 + 1 = 4


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8441
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιουν 18, 2017 5:08 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας .
18-6-17 Απόσταση..σκαλοπάτι.PNG
Στο τρίγωνο BAD είναι \widehat{A}=90^{0} . Έστω C το συμμετρικό του A ως προς την BD.

Αν είναι AB=3 και CD=\sqrt{18} τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του C από την AD.

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος
Καλησπέρα!
Σκαλοπάτι.png
Σκαλοπάτι.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 529 φορές
\displaystyle{tan\theta  = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \tan 2\theta  = \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = 2\sqrt 2 } και \displaystyle{x = 3\sqrt 2 sin2\theta  = \frac{{3\sqrt 2 \tan 2\theta }}{{\sqrt {1 + {{\tan }^2}2\theta } }} \Leftrightarrow } \boxed{x=4}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6741
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 18, 2017 6:55 pm

Φέρνω κάθετη στη BC στο C που τέμνει την ευθεία BA στο P.

Επειδή C{A^2} = AB \cdot AP \Rightarrow 18 = 3AP \Rightarrow \boxed{AP = 6}. Αν τώρα η ευθεία DE κόψει τις

CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CP στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H αντίστοιχα θα είναι :

1. Τα Z,Hαρμονικά συζυγή των D,E και

2. 2ZE = EH ( αφού 2BA = AP).

3. Το τετράπλευρο APHD είναι παραλληλόγραμμο

Απόσταση σκαλοπάτι_new_new.png
Απόσταση σκαλοπάτι_new_new.png (19.41 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές
Έτσι αν \boxed{ZE = x} θα είναι : \left\{ \begin{gathered} 
  EH = 2x \hfill \\ 
  DZ = 3x \hfill \\ 
  DH = AP = 6 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  x = 1 \hfill \\ 
  EH = 2 \hfill \\ 
  DZ = 3 \hfill \\ 
  DE = 4 \hfill \\  
\end{gathered}  \right. .

Τα σκαλοπάτια του Γιώργου ;


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1088
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Ιουν 18, 2017 11:48 pm

Καλησπέρα σε όλους !
Ευχαριστώ κατ' αρχήν τον Ορέστη που ήταν το favori για την πρώτη απάντηση ! ..
και ασφαλώς τους Μιχάλη , Γιώργο και Νίκο.
Κάλλιστα θα μπορούσε Νίκο το DE=4 να ήταν τέταρτο σκαλοπάτι , όπως στο σχήμα σου ! ..
αλλά εννοώ κάτι άλλο που θα φανεί σε επόμενη ανάρτησή μου..

Δίνω στη συνέχεια , μια λύση που είχα πριν την ανάρτηση :
Θέμα ..σκαλοπάτι.PNG
Θέμα ..σκαλοπάτι.PNG (6.57 KiB) Προβλήθηκε 467 φορές
Το ABCD είναι χαρταετός. Έχουμε \dfrac{ID}{IB}=\dfrac{AD^{2}}{AB^{2}}=2

και \left ( ABCD \right )=AB\cdot AD=9\sqrt{2} άρα \left (  DAC\right )=2\left ( ABCD \right )/3=6\sqrt{2}.

Τότε AD\cdot CE =2\left ( DAC \right )=12\sqrt{2}\Rightarrow CE =\dfrac{12\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=4.

Φιλικά Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1680
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Απόσταση ..σκαλοπάτι !

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Ιουν 19, 2017 9:53 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας .
18-6-17 Απόσταση..σκαλοπάτι.PNG
Στο τρίγωνο BAD είναι \widehat{A}=90^{0} . Έστω C το συμμετρικό του A ως προς την BD.

Αν είναι AB=3 και CD=\sqrt{18} τότε : Να υπολογιστεί η απόσταση του C από την AD.

Ας δώσουμε σε μαθητή , την ευκαιρία για την πρώτη απάντηση..
Ευχαριστώ , Γιώργος
Με Π.Θ είναι \displaystyle{DB = 3\sqrt 3 {\text{ }},{\text{ }}[\left( {ABCD} \right) = 2\left( {ABD} \right) = 9\sqrt 2  \Rightarrow \frac{{3\sqrt 3  \cdot AC}}{2} = 9\sqrt 2  \Rightarrow \boxed{AC = 2\sqrt 6 }}

\displaystyle{AI \cdot AC = AE \cdot AD \Rightarrow 2\sqrt 6  \cdot \sqrt 6  = \sqrt {18}  \cdot AE \Rightarrow \boxed{AE = 2\sqrt 2 }}

Με Π.Θ στο \displaystyle{\vartriangle CEA \Rightarrow \boxed{CE = 4}}

Αλλιώς

\displaystyle{\left( {DCA} \right) = \frac{{CD \cdot DA \cdot CA}}{{4R}} = \frac{{18 \cdot 2\sqrt 6 }}{{4 \cdot \frac{{3\sqrt 3 }}{2}}} \Rightarrow \frac{{CE \cdot \sqrt {18} }}{2} = 6 \cdot \sqrt 2  \Rightarrow \boxed{CE = 4}}
A.S.png
A.S.png (8.2 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες