Μέσο εφαπτομένης

KARKAR · #1

: Μέσο εφαπτομένης.png (9.56 KiB) Προβλήθηκε 689 φορές

Ο κύκλος

εφάπτεται οριζόντιας ευθείας σε σημείο

και το σημείο του

βρίσκεται στο ύψος του κέντρου . Από σημείο

της ευθείας φέρω τέμνουσα SNP

και την εφαπτομένη στο

, η οποία τέμνει την ευθεία στο

. Πώς πρέπει

να επιλεγεί το σημείο

, ώστε το

να είναι το μέσο του τμήματος

;

#2

Ας είναι

η προβολή του

στην

και

το σημείο τομής των ευθειών

$OT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PS$ . Επειδή $\left\{ \begin{gathered} \widehat {TOM} = \widehat {PMT} \hfill \\ \widehat {PMT} = \widehat {PNM} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

( οξείες με κάθετες πλευρές και υπό χορδής κι εφαπτομένης) θα είναι

$\boxed{\widehat {TOM} = \widehat {ANM}}$ που μας εξασφαλίζει ότι το τετράπλευρο OANM

εγγράψιμο και

αφού το τετράπλευρο, ONKM

είναι τετράγωνο τελικά το πεντάγωνο OANKM

είναι

εγγράψιμο.

: μέσο εφαπτομένης.png (24.93 KiB) Προβλήθηκε 667 φορές

Μετά απ’ αυτά $\widehat \omega = \widehat {MNK = }45^\circ \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {OAK} = \widehat {OMK} = 90^\circ$ . Στο τρίγωνο : $\vartriangle ATK$ η

είναι εσωτερική και η

εξωτερική διχοτόμος . Από την αρμονική αναλογία :

$\dfrac{{KM}}{{KS}} = \dfrac{{TM}}{{TS}} = 0,5 \Rightarrow KS = 2MK = 2R \Rightarrow \boxed{MS = MT = 3R}$ .

#3

KARKAR έγραψε:Μέσο εφαπτομένης.pngΟ κύκλος εφάπτεται οριζόντιας ευθείας σε σημείο και το σημείο του

βρίσκεται στο ύψος του κέντρου . Από σημείο της ευθείας φέρω τέμνουσα

και την εφαπτομένη στο , η οποία τέμνει την ευθεία στο . Πώς πρέπει

να επιλεγεί το σημείο , ώστε το να είναι το μέσο του τμήματος ;

Η

τέμνει την

στο

και έστω

: Μέσο εφαπτομένης.png (13.86 KiB) Προβλήθηκε 629 φορές

Επειδή

και

θα είναι και PE=ES=x-y.

Από θεώρημα διχοτόμου στο TPE:

$\displaystyle{\frac{R}{{x - y - R}} = \frac{x}{{x + y}} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x^2-xy-2Rx-Ry=0}$ Αλλά, $\displaystyle{O{E^2} = {y^2} + {R^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{x^2-2xy-2Rx+2Ry=0}$

Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι $\boxed{x=3R}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε:Μέσο εφαπτομένης.pngΟ κύκλος εφάπτεται οριζόντιας ευθείας σε σημείο και το σημείο του

βρίσκεται στο ύψος του κέντρου . Από σημείο της ευθείας φέρω τέμνουσα

και την εφαπτομένη στο , η οποία τέμνει την ευθεία στο . Πώς πρέπει

να επιλεγεί το σημείο , ώστε το να είναι το μέσο του τμήματος ;

Έστω $\displaystyle{PT = TM = MS = x}$ και $\displaystyle{PQ \cap TS = D}$ .

Είναι $\displaystyle{NOQ//TS}$ άρα οι μαύρες γωνίες είναι ίσες οπότε $\displaystyle{PT}$ εφαπτόμενη του περίκυκλου του $\displaystyle{\vartriangle PDS}$

Άρα $\displaystyle{{x^2} = TD \cdot 2x \Rightarrow TD = \frac{x}{2}$

Θεωρούμε ακόμη το ημικύκλιο διαμέτρου $\displaystyle{TS = 2x}$ που τέμνεται από την $\displaystyle{MO}$ στο $\displaystyle{B}$

Επειδή $\displaystyle{\angle MPS = \angle MBS = {45^0}}$ , $\displaystyle{BPMS}$ είναι εγγράψιμο άρα $\displaystyle{\angle BPS = {90^0} \Rightarrow B,Q,D}$ συνευθειακά

Ισχύει $\displaystyle{QO//DM \Rightarrow \frac{{OQ}}{{MD}} = \frac{{BO}}{{BM}} \Rightarrow \frac{R}{{\frac{x}{2}}} = \frac{{x - R}}{x} \Rightarrow \boxed{x = 3R}}$

: Μέσο εφαπτομένης.png (24.7 KiB) Προβλήθηκε 599 φορές

Μέσο εφαπτομένης

Μέσο εφαπτομένης

Re: Μέσο εφαπτομένης

Re: Μέσο εφαπτομένης

Re: Μέσο εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση