Κορυφές σε δύο κύκλους

#1

Έστω κύκλος (O,6)

και σημείο του

. Γράφω νέο κύκλο (K,r)

που τέμνει τον

προηγούμενο στα $A\,\,,D$ . Τέμνουσα διερχόμενη από το

τέμνει τον κύκλο (K,r)

στο

και τον κύκλο (O,6)

στο

. Αν $DB = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 7$ να υπολογιστούν οι

πλευρές του $\vartriangle ABC$ .

#2

Doloros έγραψε:Έστω κύκλος και σημείο του . Γράφω νέο κύκλο που τέμνει τον

προηγούμενο στα $A\,\,,D$ . Τέμνουσα διερχόμενη από το τέμνει τον κύκλο

στο και τον κύκλο στο . Αν $DB = 4\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = 7$ να υπολογιστούν οι

πλευρές του $\vartriangle ABC$ .

Για να μη μείνει αναπάντητη.

Αν τα σημεία D, C

είναι εκατέρωθεν του

: Κορυφές σε δύο κύκλους.png (30.15 KiB) Προβλήθηκε 695 φορές

$\displaystyle{A\widehat BD = {180^0} - \frac{{A\widehat KD}}{2} = {180^0} - O\widehat KD = {180^0} - \left( {{{90}^0} - \frac{\varphi }{2}} \right) = {90^0} + \frac{\varphi }{2}}$ κι επειδή η

είναι διχοτόμος

της $A\widehat CD,$ το τρίγωνο CAB

είναι ισοσκελές, άρα $\boxed{AC=BC=3}$

$\displaystyle{CB \cdot CD = C{K^2} - {r^2} \Leftrightarrow }$ $\boxed{CK^2=r^2+21}$ (1)

και από τα όμοια τρίγωνα CAB, OKD

είναι $\boxed{AB=\frac{r}{2}}$ (2)

Με νόμο συνημιτόνων στο ACK,

από την

και από $\displaystyle{\sin \frac{\varphi }{2} = \frac{r}{{12}} \Rightarrow \cos \frac{\varphi }{2} = \frac{{\sqrt {144 - {r^2}} }}{{12}}}$ καταλήγω στην εξίσωση:

$\displaystyle{{r^4} - 123{r^2} + 576 = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{r > 0} r = \sqrt {\frac{{123 \pm 15\sqrt {57} }}{2}} }$ και από τη (2)

φαίνεται ότι έχουμε δύο τρίγωνα που επαληθεύουν

τα δεδομένα του προβλήματος με $\boxed{AB = \sqrt {\frac{{123 - 15\sqrt {57} }}{8}} }$ ή $\boxed{AB = \sqrt {\frac{{123 + 15\sqrt {57} }}{8}} }$

Στο πάνω σχήμα φαίνεται η πρώτη περίπτωση, ενώ στο κάτω η δεύτερη.

: Κορυφές σε δύο κύκλους.b.png (20.59 KiB) Προβλήθηκε 688 φορές

Υπάρχει άλλη μία περίπτωση όταν τα B, C

είναι εκατέρωθεν του

Θα επανέλθω σε επόμενη ανάρτηση...

#3

Αν τα σημεία B, C

είναι εκατέρωθεν του

τότε έχουμε τα παρακάτω σχήματα.

: Κορυφές σε δύο κύκλους.c.png (36.81 KiB) Προβλήθηκε 669 φορές

Εργαζόμενοι όπως και προηγουμένως βρίσκουμε ότι $\boxed{AC=BC=11}$ , από την ομοιότητα των τριγώνων CAB, OKD

είναι $\boxed{AB=\frac{11r}{6}}$ και ακόμα έχουμε $\boxed{CK^2=r^2+77}$ Τελικά παίρνουμε:

$\displaystyle{r = \sqrt {\frac{{67 \pm \sqrt {2185} }}{2}} }$ και $\boxed{AB = \frac{{11}}{6}\sqrt {\frac{{67 + \sqrt {2185} }}{2}} }$ (πρώτο σχήμα) ή $\boxed{AB = \frac{{11}}{6}\sqrt {\frac{{67 - \sqrt {2185} }}{2}} }$ (δεύτερο σχήμα)

Κορυφές σε δύο κύκλους

Κορυφές σε δύο κύκλους

Re: Κορυφές σε δύο κύκλους

Re: Κορυφές σε δύο κύκλους

Μέλη σε σύνδεση