Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 775
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Τετ Ιουν 07, 2017 8:31 pm

FB837=GEO185.png
FB837=GEO185.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 567 φορές
Στις πλευρές AB, AC τριγώνου ABC εκλέγουμε σημεία P, Q αντίστοιχα, τέτοια ώστε AP \cdot AQ=BP \cdot CQ

Αν η PQ τέμνει την διάμεσο AM στο N, δείξτε ότι NM \geq NA

υ.γ. Η άσκηση ΔΕΝ έχει σχέση ούτε με θεούς, ούτε με διαβόλους (βλ. αριθμό δημοσιεύσεών μου)!!!


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 660
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Τετ Ιουν 07, 2017 9:55 pm

sakis1963 έγραψε: Υ.Γ. Η άσκηση ΔΕΝ έχει σχέση ούτε με θεούς, ούτε με διαβόλους (βλ. αριθμό δημοσιεύσεών μου)!!!
Ίσως χρειαστεί να σας αφορίσουμε!!! :lol:


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2081
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Ιουν 08, 2017 12:02 am

sakis1963 έγραψε:FB837=GEO185.png
Στις πλευρές AB, AC τριγώνου ABC εκλέγουμε σημεία P, Q αντίστοιχα, τέτοια ώστε AP \cdot AQ=BP \cdot CQ

Αν η PQ τέμνει την διάμεσο AM στο N, δείξτε ότι NM \geq NA

υ.γ. Η άσκηση ΔΕΝ έχει σχέση ούτε με θεούς, ούτε με διαβόλους (βλ. αριθμό δημοσιεύσεών μου)!!!
\displaystyle{BF,CG//AM \Rightarrow \frac{{AN}}{{FB}} = \frac{{AP}}{{PB}}} και \displaystyle{\frac{{CG}}{{AN}} = \frac{{CQ}}{{QA}}}

Λόγω της δοσμένης ισότητας κι επειδή \displaystyle{MN} διάμεσος του τραπεζίου\displaystyle{BFGC} θα είναι

\displaystyle{\frac{{CG}}{{AN}} = \frac{{AN}}{{FB}} \Leftrightarrow A{N^2} = CG \cdot FB \Leftrightarrow 4A{N^2} = 4CG \cdot FB \leqslant {\left( {CG + FB} \right)^2} = 4N{M^2}}

Άρα \displaystyle{A{N^2} \leqslant N{M^2} \Leftrightarrow \boxed{AN \leqslant NM}}
ILGMA.png
ILGMA.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 510 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης