Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

sakis1963 · #1

: FB837=GEO185.png (23.68 KiB) Προβλήθηκε 729 φορές

Στις πλευρές AB, AC

τριγώνου

εκλέγουμε σημεία P, Q

αντίστοιχα, τέτοια ώστε $AP \cdot AQ=BP \cdot CQ$

Αν η

τέμνει την διάμεσο

στο

, δείξτε ότι $NM \geq NA$

υ.γ. Η άσκηση ΔΕΝ έχει σχέση ούτε με θεούς, ούτε με διαβόλους (βλ. αριθμό δημοσιεύσεών μου)!!!

Κατερινόπουλος Νικόλας · #2

sakis1963 έγραψε: Υ.Γ. Η άσκηση ΔΕΝ έχει σχέση ούτε με θεούς, ούτε με διαβόλους (βλ. αριθμό δημοσιεύσεών μου)!!!

Ίσως χρειαστεί να σας αφορίσουμε!!!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

sakis1963 έγραψε:FB837=GEO185.png
Στις πλευρές τριγώνου εκλέγουμε σημεία αντίστοιχα, τέτοια ώστε $AP \cdot AQ=BP \cdot CQ$

Αν η τέμνει την διάμεσο στο , δείξτε ότι $NM \geq NA$

υ.γ. Η άσκηση ΔΕΝ έχει σχέση ούτε με θεούς, ούτε με διαβόλους (βλ. αριθμό δημοσιεύσεών μου)!!!

$\displaystyle{BF,CG//AM \Rightarrow \frac{{AN}}{{FB}} = \frac{{AP}}{{PB}}}$ και $\displaystyle{\frac{{CG}}{{AN}} = \frac{{CQ}}{{QA}}}$

Λόγω της δοσμένης ισότητας κι επειδή $\displaystyle{MN}$ διάμεσος του τραπεζίου $\displaystyle{BFGC}$ θα είναι

$\displaystyle{\frac{{CG}}{{AN}} = \frac{{AN}}{{FB}} \Leftrightarrow A{N^2} = CG \cdot FB \Leftrightarrow 4A{N^2} = 4CG \cdot FB \leqslant {\left( {CG + FB} \right)^2} = 4N{M^2}}$

Άρα $\displaystyle{A{N^2} \leqslant N{M^2} \Leftrightarrow \boxed{AN \leqslant NM}}$

: ILGMA.png (7.73 KiB) Προβλήθηκε 672 φορές

Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

Re: Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

Re: Ισοι λόγοι για μια ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση