Αρνητική ουτοπία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12544
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αρνητική ουτοπία

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Μάιος 24, 2017 3:16 pm

Αρνητική  ουτοπία.png
Αρνητική ουτοπία.png (7.14 KiB) Προβλήθηκε 440 φορές
Στα άκρα τμήματος AB=2m , φέρουμε κάθετες , επί των οποίων κινούνται σημεία P,Q ,

ώστε αν AP=x , να είναι : BQ=\dfrac{m^2}{x} . Από το μέσο M του AB , φέρουμε MS \perp PQ .

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου S .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7915
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αρνητική ουτοπία

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 24, 2017 4:07 pm

KARKAR έγραψε:Αρνητική ουτοπία.pngΣτα άκρα τμήματος AB=2m , φέρουμε κάθετες , επί των οποίων κινούνται σημεία P,Q ,

ώστε αν AP=x , να είναι : BQ=\dfrac{m^2}{x} . Από το μέσο M του AB , φέρουμε MS \perp PQ .

Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου S .
Αρνητική ουτοπία.png
Αρνητική ουτοπία.png (22.57 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές

Ημικύκλιο διαμέτρου AB


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1655
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Αρνητική ουτοπία

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Τετ Μάιος 24, 2017 4:37 pm

Είναι \tan \widehat{PMA}=\dfrac{PA}{AM}=\dfrac{x}{m}, οπότε \tan \widehat{PMA}=\dfrac{x}{m} (1).

Επίσης, \tan \widehat{MQB}=\dfrac{MB}{QB}=\dfrac{m}{\dfrac{m^2}{x}}=\dfrac{x}{m}, οπότε \tan \widehat{MQB}=\dfrac{x}{m} (2).

Από (1), (2), \tan \widehat{PMA}=\tan{\widehat{MQB}} \Rightarrow \widehat{PMA}=\widehat{MQB}=

90^\circ-\widehat{QMB} \Rightarrow \widehat{PMA}+\widehat{QMB}=90^\circ \Rightarrow \widehat{PMQ}=90^\circ \Rightarrow \widehat{QPM}+\widehat{PQM}=90^\circ (3).

Τα PAMS, BQSM είναι εγγράψιμα (έχουν δύο απέναντι ορθές γωνίες), οπότε \widehat{QPM}=\widehat{SAB}, \widehat{PQM}=\widehat{SBA} (4).

Από (3), (4), \widehat{SAB}+\widehat{SBA}=90^\circ \Rightarrow AS \perp SB \Rightarrow S σημείο του ημικυκλίου με διάμετρο AB.

Άρα, ο γεωμετρικός τόπος του σημείου S, είναι το ημικύκλιο με διάμετρο AB.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7915
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Αρνητική ουτοπία

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 24, 2017 6:57 pm

Πρώτα-πρώτα η γεωμετρική κατασκευή του σχήματος με δεδομένο την ελεύθερη

κίνηση του P στη μια κατακόρυφη ευθεία πως θα προσδιορίσω τη θέση του Q.

Στην άλλη κατακόρυφη ευθεία και στο αντίθετο ημιεπίπεδο από το P έστω σημείο

C με BC = m . Στην ημιευθεία BA έστω σημείο T με BT = x. Η κάθετη στο C επί

Την TC τέμνει την ευθεία AB στο Z. Επειδή B{C^2} = BT \cdot BZ \Rightarrow {m^2} = xBZ θα είναι

BQ = BZ. Μετά απ’ αυτά , θα ισχύουν προφανώς :
Αρνητική ουτοπία_1.png
Αρνητική ουτοπία_1.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 391 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \vartriangle AMP = \vartriangle BCT \hfill \\ 
  \vartriangle BMQ = \vartriangle BCZ \hfill \\ 
  \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ 
  \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\omega _2}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. Αλλά επειδή οι εντός και επί τα αυτά γωνίες παραλλήλων ευθειών

Είναι παραπληρωματικές , στο \vartriangle MPQ οι γωνίες στα P,Q είναι συμπληρωματικές ,

δεδομένου ότι \widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\omega _1}} = \widehat {{\theta _2}} + \widehat {{\omega _2}} = 90^\circ. Άρα το τρίγωνο MPQ είναι ορθογώνιο στο

M και έτσι \vartriangle MPQ = \vartriangle CTZ αφού MP = TC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MQ = ZC . Άρα

PS = TB = x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SQ = BZ = \dfrac{{{m^2}}}{x} μα τότε M{S^2} = SP \cdot SQ = x\dfrac{{{m^2}}}{x} = {m^2} \Rightarrow \boxed{MS = m}.

Συνεπώς το S ανήκει στον κύκλο (M,m) και ο γεωμετρικός τόπος είναι το

ημικύκλιο διαμέτρου BC που βρίσκεται ανάμεσα στις κατακόρυφες ημιευθίες.


Εχει ενδιαφέρον τι γίνεται αν τα σημεία P,Q βρίσκονται σε αντίθετα ημιεπίπεδα.


Παρατήρηση :

Μπορούμε εύκολα με Π. Θ. να δείξουμε ότι PQ = AP + BQ και μετά ότι οι

διχοτόμοι των μη ορθών γωνιών του τραπεζίου ABQP διέρχονται από το σημείο M


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες