Εγγράψιμο και λόγος

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1217
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Εγγράψιμο και λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 21, 2017 12:48 am

Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :
21-5-17 Εγγράψιμο και λόγος.PNG
21-5-17 Εγγράψιμο και λόγος.PNG (5.12 KiB) Προβλήθηκε 502 φορές
Στο ορθογώνιο ABCD του σχήματος είναι CD=5 ..AD=AE=ZB=2

M το μέσον της BC και H η τομή των AM,DZ.

1) Να εξεταστεί αν το DAEH είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}.
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1599
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Εγγράψιμο και λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Μάιος 21, 2017 1:25 am

Γεια σου Γιώργο.

α) Εύκολα ZE=1, ZA=3, ZD=\sqrt{AD^2+AZ^2}=\sqrt{13} (1).

Έστω K \equiv ZH \cup CB.

Από τα όμοια \vartriangle KZB, \vartriangle KCD, έχουμε \dfrac{BK}{CK}=\dfrac{2}{5} \mathop \Rightarrow \limits^{CB=2} BK=\dfrac{4}{3} (2).

Από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο \vartriangle AMB με διατέμνουσα \overline{HZK} έχουμε εύκολα \dfrac{AH}{HM}=\dfrac{6}{7} (3).

Είναι AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=\sqrt{5^2+1^2}=\sqrt{26}. (4)

Από την (3), έχουμε \dfrac{6}{7}=\dfrac{AH}{HM}=\dfrac{AM-HM}{HM}=\dfrac{AM}{HM}-1=\dfrac{\sqrt{26}}{HM}-1

\Rightarrow AH=\dfrac{6\sqrt{26}}{13}, HM=\dfrac{7\sqrt{26}}{13} (5).

Είναι \cos \widehat{HAZ}=\dfrac{AB}{AM} \mathop = \limits^{(4)}\dfrac{5\sqrt{26}}{26}, οπότε \cos \widehat{HAZ}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26} (6).

Με Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle HAZ και χρησιμοποιώντας AH=\dfrac{6\sqrt{26}}{13}, AZ=3,\cos \widehat{HAZ}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26} παίρνουμε
HZ=\dfrac{3\sqrt{13}}{13} (7).

Από (1), (7) ZH \cdot ZD=3=ZE \cdot ZA \Rightarrow AEHD εγγράψιμο.

β) Με Ν. Συνημιτόνων στο \vartriangle AHE και χρησιμοποιώντας ότι AH=\dfrac{6\sqrt{26}}{13}, AE=2, \cos \widehat{HAE}=\dfrac{5\sqrt{26}}{26}, έχουμε HE=\dfrac{10\sqrt{13}}{13} \mathop \Rightarrow \limits^{\textnormal{\gr Π.Θ. στο } \vartriangle DHE} DH=\dfrac{2\sqrt{13}}{13}.

Εύκολα πλέον (DHE)=\dfrac{DH \cdot HE}{2}=\dfrac{10}{13}=\dfrac{(ABCD)}{13}, οπότε p=13.

Τώρα :sleeping:


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3270
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εγγράψιμο και λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Μάιος 21, 2017 8:27 am

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :

Στο ορθογώνιο ABCD του σχήματος είναι CD=5 ..AD=AE=ZB=2

M το μέσον της BC και H η τομή των AM,DZ.

1) Να εξεταστεί αν το DAEH είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}.
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .
Καλημέρα Γιώργο και Ορέστη.
Εγγράψιμο-και-λόγος.png
Εγγράψιμο-και-λόγος.png (29.4 KiB) Προβλήθηκε 461 φορές
1) Αν ZK \bot DE, τότε εύκολα EK = KZ = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2},\,DE = 2\sqrt 2 και από \dfrac{{ZK}}{{KD}}\mathop  = \limits^{D\widehat KZ = A\widehat BM = {{90}^ \circ }} \dfrac{{MB}}{{BA}} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow  \triangleleft DKZ \sim  \triangleleft ABM, οπότε DAEH εγγράψιμο.

2) Αφού, πλέον, E\widehat HD = {90^ \circ }, από \triangleleft DEH \sim  \triangleleft AMB \Rightarrow EH = \dfrac{{2\sqrt {13} }}{{13}},\,DH = \dfrac{{10\sqrt {13} }}{{13}}, οπότε p = \dfrac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} =  \cdots  = 13


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7042
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγράψιμο και λόγος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 21, 2017 1:05 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :
21-5-17 Εγγράψιμο και λόγος.PNG
Στο ορθογώνιο ABCD του σχήματος είναι CD=5 ..AD=AE=ZB=2

M το μέσον της BC και H η τομή των AM,DZ.

1) Να εξεταστεί αν το DAEH είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}.
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .

1. Έστω T,P τα σημεία τομής της ευθείας EH με τις ευθείες BC,AD και S το

σημείο τομής των ευθειών HZ\,,\,BC. Θέτω , BS = y,CT = u,AP = v Θα ισχύουν

από τις ομοιότητες \vartriangle ASD \approx \vartriangle BZS\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle AEP \approx \vartriangle BET, λόγω H - δέσμης:
Εγγράψιμο και λόγος_2_MITSIOS.png
Εγγράψιμο και λόγος_2_MITSIOS.png (21.53 KiB) Προβλήθηκε 435 φορές
\left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{AZ}}{{ZB}} = \frac{{AD}}{{BS}}\,\,(1) \hfill \\ 
  \frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AP}}{{BT}}\,\,(2) \hfill \\ 
  \frac{{DA}}{{AP}} = \frac{{MT}}{{MS}}\,\,(3) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{3}{2} = \frac{2}{y} \hfill \\ 
  \frac{2}{3} = \frac{v}{{u + 2}} \hfill \\ 
  \frac{2}{v} = \frac{{y + 1}}{{u + 1}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{v = 3} . Τώρα όμως το τρίγωνο APZ θα είναι

ορθογώνιο και ισοσκελές , οπότε το E είναι ορθόκεντρο του \vartriangle DPZ και έτσι

PH \bot DH και το τετράπλευρο DAEH είναι εγγράψιμο.

2. Από την ομοιότητα των τριγώνων AMB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DEH έχω :

\dfrac{{(ABM)}}{{(HDE)}} = \dfrac{{A{M^2}}}{{D{E^2}}} = \dfrac{{26}}{8} = \dfrac{{13}}{4}\,\,(4) και αφού \dfrac{{(ABCD)}}{{(ABM)}} = \dfrac{{10}}{{\dfrac{5}{2}}} = 4\,\,(5) πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη και προκύπτει \boxed{p = 13}


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1773
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Εγγράψιμο και λόγος

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Μάιος 21, 2017 4:31 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Γεια σας και καλή Κυριακή . Προσωπική Σύνθεση :
21-5-17 Εγγράψιμο και λόγος.PNG
Στο ορθογώνιο ABCD του σχήματος είναι CD=5 ..AD=AE=ZB=2

M το μέσον της BC και H η τομή των AM,DZ.

1) Να εξεταστεί αν το DAEH είναι εγγράψιμο και

2) Να βρεθεί ο αριθμός p=\dfrac{\left ( ABCD \right )}{\left ( DEH \right )}.
Μερικοί τον θεωρούν (μη) τυχερό , κάποιοι τον βλέπουν ως ..Θύρα , μα για όλους (μας) είναι πρώτος!

Ευχαριστώ , Γιώργος .
Με \displaystyle{PZ \bot AB \Rightarrow PZ//MB \Rightarrow \frac{{PZ}}{1} = \frac{3}{5} \Rightarrow \boxed{PZ = \frac{3}{5}}} και \displaystyle{PZ//DA \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{{\frac{3}{5}}}{2} \Rightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{{10}}}

Επειδή \displaystyle{x + y = \sqrt {13} } έχουμε \displaystyle{x = \frac{{3\sqrt {13} }}{3},y = \frac{{10\sqrt {13} }}{3}} κι εύκολα έχουμε \displaystyle{x\left( {x + y} \right) = ZE \cdot ZA = 3 \Rightarrow DAEH} εγγράψιμο

\displaystyle{\frac{{\left( {DEZ} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = \frac{{x + y}}{y} = \frac{{13}}{{10}} \Rightarrow \frac{{\frac{1}{5}\left( {DAB} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = \frac{{13}}{{10}} \Rightarrow \frac{{\frac{1}{{10}}\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = \frac{{13}}{{10}} \Rightarrow \boxed{\frac{{\left( {ABCD} \right)}}{{\left( {DEH} \right)}} = 13}}
EKL.png
EKL.png (11.26 KiB) Προβλήθηκε 413 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης