Tρία ισόπλευρα

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 891
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Tρία ισόπλευρα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 07, 2017 1:16 am

Καλή Κυριακή σε όλους ..τελευταία προσωπική σύνθεση :
7-5-17 Tρία ισόπλευρα.PNG
7-5-17 Tρία ισόπλευρα.PNG (8.51 KiB) Προβλήθηκε 636 φορές
Τα τρίγωνα AOB,EOT και ATH του σχήματος είναι ισόπλευρα.

Αν τα (AOB),(EOT) και (ABET) (*) είναι ανάλογα των 1,3 και 4 αντιστοίχως , τότε να εξεταστεί αν

1) Τα σημεία A,B,E είναι συνευθειακά και ... 2) Ο p =\dfrac{\left ( AHTE \right )}{\left ( AOB \right )} είναι πρώτος αριθμός .

(*) Θεωρώντας ,αρχικά το ABET ως τετράπλευρο.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Tρία ισόπλευρα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Μάιος 07, 2017 1:03 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Αν τα (AOB),(EOT) και (ABET)
Εννοείτε εμβαδά;


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 891
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Tρία ισόπλευρα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Κυρ Μάιος 07, 2017 6:58 pm

Kαλησπέρα Νικόλα ! Ακριβώς , συμβολίζουν τα αντίστοιχα εμβαδά ..

Φιλικά Γιώργος .


Κατερινόπουλος Νικόλας
Δημοσιεύσεις: 651
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 05, 2017 3:24 pm
Τοποθεσία: Καλαμάτα, Μεσσηνία

Re: Tρία ισόπλευρα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κατερινόπουλος Νικόλας » Κυρ Μάιος 07, 2017 8:12 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Kαλησπέρα Νικόλα ! Ακριβώς , συμβολίζουν τα αντίστοιχα εμβαδά ..

Φιλικά Γιώργος .
:coolspeak:


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2051
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Tρία ισόπλευρα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μάιος 09, 2017 1:02 am

Εδώ υπήρξε δημοσίευση μου μη Μαθηματικού περιεχομένου.
Την διέγραψα γιατί ο σκοπός της δεν υφίσταται πλέον.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 891
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Tρία ισόπλευρα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μάιος 16, 2017 1:04 am

Καλημέρα σε όλους.. Επανέρχομαι στο θέμα αφού οι ως άνω εμφανείς αναρτήσεις δεν απαντούν στα ερωτήματα ..
Φαίνεται ,προς το παρόν , δεν είχε και την καλύτερη τύχη..

Ας θέσω λοιπόν και νέα ζητούμενα με την προσδοκία να προσελκύσουν το ενδιαφέρον σας .
16-5-21Τρία ισόπλευρα.PNG
16-5-21Τρία ισόπλευρα.PNG (6.56 KiB) Προβλήθηκε 409 φορές
Με τα δεδομένα της πρώτης ανάρτησης , να εξεταστεί επιπλέον αν

3) BT\parallel OA..4) Τα σημεία B,O,H είναι επίσης συνευθειακά.. 5) BT=OH και τέλος 6) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( OTH \right )}{\left ( AHO \right )}

Αν τα ερωτήματα -αρχικά και νέα - θεωρηθούν πολλά , μπορεί να απαντηθούν και .. :) .. με δόσεις ,αλλά και από διάφορους ΛΥΤΕΣ !

Σας ευχαριστώ και πάλι , Γιώργος


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7306
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Tρία ισόπλευρα

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μαρ 16, 2018 12:30 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Κυρ Μάιος 07, 2017 1:16 am
Καλή Κυριακή σε όλους ..τελευταία προσωπική σύνθεση :
7-5-17 Tρία ισόπλευρα.PNG

Τα τρίγωνα AOB,EOT και ATH του σχήματος είναι ισόπλευρα.

Αν τα (AOB),(EOT) και (ABET) (*) είναι ανάλογα των 1,3 και 4 αντιστοίχως , τότε να εξεταστεί αν

1) Τα σημεία A,B,E είναι συνευθειακά και ... 2) Ο p =\dfrac{\left ( AHTE \right )}{\left ( AOB \right )} είναι πρώτος αριθμός .

(*) Θεωρώντας ,αρχικά το ABET ως τετράπλευρο.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο, καλημέρα σε όλους!

Κάλλιο αργά...παρά ποτέ!
Τρία ισόπλευρα.α.png
Τρία ισόπλευρα.α.png (10.21 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές
1) Αν a είναι η πλευρά του ισοπλεύρου AOB τότε θα είναι OT=a\sqrt 3 και (ABET)=a^2\sqrt 3.

\displaystyle (ABET) = (OAB) + (OTE) + (OBE) - (OAT) \Leftrightarrow {a^2}\sqrt 3  = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{4}(OBE) - (OAT) \Leftrightarrow

\displaystyle (OBE) = (OAT) \Leftrightarrow \sin ({120^0} + \theta ) = \sin \theta  \Leftrightarrow \theta  = {30^0}. Αλλά με νόμο συνημιτόνων βρίσκω

\displaystyle BE = a \Leftrightarrow B\widehat EO = \theta  = {30^0} \Leftrightarrow O\widehat BE = {120^0}, απ' όπου προκύπτει ότι τα σημεία A,B,E είναι συνευθειακά.
Τρία ισόπλευρα.β.png
Τρία ισόπλευρα.β.png (18.2 KiB) Προβλήθηκε 221 φορές
2) Το AET είναι ορθογώνιο και με Πυθαγόρειο βρίσκω AT=a\sqrt 7.

\displaystyle \frac{{(AHTE)}}{{(AOB)}} = \frac{{(AHT) + (AET)}}{{(AOB)}} = \dfrac{{\dfrac{{7{a^2}\sqrt 3 }}{4} + {a^2}\sqrt 3 }}{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}} \Leftrightarrow \boxed{p=11} που είναι πρώτος.
Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Τρί Μάιος 16, 2017 1:04 am

Με τα δεδομένα της πρώτης ανάρτησης , να εξεταστεί επιπλέον αν

3) BT\parallel OA..4) Τα σημεία B,O,H είναι επίσης συνευθειακά.. 5) BT=OH και τέλος 6) Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( OTH \right )}{\left ( AHO \right )}


3) Το OBET είναι χαρταετός, οπότε \displaystyle BT \bot OE. Αλλά, είναι και OA\bot OE, άρα \boxed{BT||OA}

4) \displaystyle A\widehat HT + A\widehat BT = {180^0}, άρα το είναι εγγράψιμο, οπότε \displaystyle H\widehat BT = H\widehat AT = {60^0} κι επειδή είναι και \displaystyle O\widehat BT = {60^0}

τα σημεία B,O,H είναι συνευθειακά.

5) Με Πυθαγόρειο στα τρίγωνα BET, OHT βρίσκω \boxed{BT=OH=2a}

6) \displaystyle \frac{{(OTH)}}{{(AHO)}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{\frac{1}{2}a \cdot 2a\sin {{120}^0}}} \Leftrightarrow \boxed{\frac{{(OTH)}}{{(AHO)}} = 2}


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 891
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Tρία ισόπλευρα

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μαρ 20, 2018 2:01 am

Καλημέρα! Γιώργο σ' ευχαριστώ πολύ για την ''εκ βυθού ανάσυρση" του παρόντος ..
ασφαλώς ευπρόσδεκτη , συνάμα εντελώς απρόσμενη! Αυθόρμητο και το :clap2: για την -μια και έξω- κάλυψη όλων των ερωτημάτων !


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης