Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 772
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Σάβ Απρ 29, 2017 9:23 pm

GEOMETRIA181=722B Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο.png
GEOMETRIA181=722B Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο.png (23.86 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές
Αν S, T εσωτερικά σημεία τραπεζίου ABCD, AB\parallel CD, τέτοια ώστε SC\parallel TA και TD\parallel SB (όπως στο σχήμα), δείξτε ότι (ASD)=(BTC)


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1492
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Σάβ Απρ 29, 2017 11:52 pm

sakis1963 έγραψε:
GEOMETRIA181=722B Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο.png
Αν S, T εσωτερικά σημεία τραπεζίου ABCD, AB\parallel CD, τέτοια ώστε SC\parallel TA και TD\parallel SB (όπως στο σχήμα), δείξτε ότι (ASD)=(BTC)
Γεια σου Σάκη!

Προφανώς, (ADC)=(BDC) (1).

Από τις δοσμένες παραλληλίες, (ASC)=(STC), \, (2) , \, (DTB)=(DST), \, (3).

Έτσι \displaystyle (ADC)=(ADS)+(ASC)+(DSC) \mathop = \limits^{(2)} (ADS)+(STC)+(DSC)=

(ADS)+(DSTC),

οπότε (ADC)=(ADS)+(DSTC) (4), και όμοια (DCB)=(CTB)+(DSTC) (5).

Από (1), (4), (5) έχουμε το ζητούμενο.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 1690
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Κυρ Απρ 30, 2017 11:49 am

sakis1963 έγραψε:GEOMETRIA181=722B Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο.png
Αν S, T εσωτερικά σημεία τραπεζίου ABCD, AB\parallel CD, τέτοια ώστε SC\parallel TA και TD\parallel SB (όπως στο σχήμα), δείξτε ότι (ASD)=(BTC)
Καλημέρα...

Έστω \displaystyle{BS \cap CD = H} και \displaystyle{DS \cap AT = E,CT \cap BS = Z}.

Είναι, \displaystyle{DT//HZ \Rightarrow \frac{{ZS}}{{SH}} = \frac{{TK}}{{KD}} = (ET//SK) = \frac{{ES}}{{SD}} \Rightarrow {\text{ }}EZ//HC//AB \Rightarrow \boxed{\frac{{AE}}{{EP}} = \frac{{BZ}}{{ZP}}}(1)}

Επειδή \displaystyle{DT//SP,PT//CS \Rightarrow \left( {DSP} \right) = \left( {STP} \right) = \left( {CTP} \right)}

Ισχύει, \displaystyle{\frac{{\left( {DAS} \right)}}{{\left( {DSP} \right)}} = \frac{{AE}}{{EP}}} και \displaystyle{\frac{{\left( {CTB} \right)}}{{\left( {CTP} \right)}} = \frac{{BZ}}{{ZP}}}

και λόγω της \displaystyle{(1)} έχουμε \displaystyle{\frac{{\left( {DAS} \right)}}{{\left( {DSP} \right)}} = \frac{{\left( {CTB} \right)}}{{\left( {CTP} \right)}} \Rightarrow \boxed{\left( {DAS} \right) = \left( {CTB} \right)}}
IST.png
IST.png (24.38 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές


Άβαταρ μέλους
sakis1963
Δημοσιεύσεις: 772
Εγγραφή: Τετ Νοέμ 19, 2014 10:22 pm
Τοποθεσία: Κιάτο

Re: Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sakis1963 » Κυρ Απρ 30, 2017 11:47 pm

Μπράβο στον Ορέστη και ευχαριστώ το Μιχάλη για τη λύση του !

Δυο λόγια ακόμα για την άσκηση (στο σχήμα του Μιχάλη):

1. Απ' την ισεμβαδικότητα είναι φανερό ότι τα παράλληλα προς τις βάσεις του τραπεζίου τμήματα, που άγονται από τα S, T μέχρι να συναντήσουν τις πλάγιες πλευρές του είναι ίσα

2. Αν M, N τα μέσα των AB, CD, αποδεικνύεται επίσης ότι αν ένα από τα K ή L ανήκει στην MN τότε και το άλλο ανήκει στη MN και επίσης η ST είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.

3. Αντίστροφα αν μια παράλληλη στις βάσεις τέμνει τις πλάγιες AD, BC στα E, Z και πάνω σ'αυτή πάρω εσωτερικά σημεία S, T ώστε SE=TZ τότε τα ζεύγη AT, BS και DT, CS τέμνονται επί της MN


''Οσοι σου λένε δεν μπορείς, είναι πιθανότατα αυτοί, που φοβούνται μήπως τα καταφέρεις''
Νίκος Καζαντζάκης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης