Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

sakis1963 · #1

: GEOMETRIA181=722B Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο.png (23.86 KiB) Προβλήθηκε 509 φορές

Αν

εσωτερικά σημεία τραπεζίου $ABCD, AB\parallel CD$ , τέτοια ώστε $SC\parallel TA$ και $TD\parallel SB$ (όπως στο σχήμα), δείξτε ότι (ASD)=(BTC)

Ορέστης Λιγνός · #2

sakis1963 έγραψε:
GEOMETRIA181=722B Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο.png
Αν εσωτερικά σημεία τραπεζίου $ABCD, AB\parallel CD$ , τέτοια ώστε $SC\parallel TA$ και $TD\parallel SB$ (όπως στο σχήμα), δείξτε ότι

Γεια σου Σάκη!

Προφανώς, (ADC)=(BDC)

(1).

Από τις δοσμένες παραλληλίες, $(ASC)=(STC), \, (2) , \, (DTB)=(DST), \, (3)$ .

Έτσι $\displaystyle (ADC)=(ADS)+(ASC)+(DSC) \mathop = \limits^{(2)} (ADS)+(STC)+(DSC)=$

(ADS)+(DSTC)

,

οπότε (ADC)=(ADS)+(DSTC)

(4), και όμοια (DCB)=(CTB)+(DSTC)

(5).

Από (1), (4), (5) έχουμε το ζητούμενο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

sakis1963 έγραψε:GEOMETRIA181=722B Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο.png
Αν εσωτερικά σημεία τραπεζίου $ABCD, AB\parallel CD$ , τέτοια ώστε $SC\parallel TA$ και $TD\parallel SB$ (όπως στο σχήμα), δείξτε ότι

Καλημέρα...

Έστω $\displaystyle{BS \cap CD = H}$ και $\displaystyle{DS \cap AT = E,CT \cap BS = Z}$ .

Είναι, $\displaystyle{DT//HZ \Rightarrow \frac{{ZS}}{{SH}} = \frac{{TK}}{{KD}} = (ET//SK) = \frac{{ES}}{{SD}} \Rightarrow {\text{ }}EZ//HC//AB \Rightarrow \boxed{\frac{{AE}}{{EP}} = \frac{{BZ}}{{ZP}}}(1)}$

Επειδή $\displaystyle{DT//SP,PT//CS \Rightarrow \left( {DSP} \right) = \left( {STP} \right) = \left( {CTP} \right)}$

Ισχύει, $\displaystyle{\frac{{\left( {DAS} \right)}}{{\left( {DSP} \right)}} = \frac{{AE}}{{EP}}}$ και $\displaystyle{\frac{{\left( {CTB} \right)}}{{\left( {CTP} \right)}} = \frac{{BZ}}{{ZP}}}$

και λόγω της $\displaystyle{(1)}$ έχουμε $\displaystyle{\frac{{\left( {DAS} \right)}}{{\left( {DSP} \right)}} = \frac{{\left( {CTB} \right)}}{{\left( {CTP} \right)}} \Rightarrow \boxed{\left( {DAS} \right) = \left( {CTB} \right)}}$

: IST.png (24.38 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές

sakis1963 · #4

Μπράβο στον Ορέστη και ευχαριστώ το Μιχάλη για τη λύση του !

Δυο λόγια ακόμα για την άσκηση (στο σχήμα του Μιχάλη):

1. Απ' την ισεμβαδικότητα είναι φανερό ότι τα παράλληλα προς τις βάσεις του τραπεζίου τμήματα, που άγονται από τα S, T

μέχρι να συναντήσουν τις πλάγιες πλευρές του είναι ίσα

2. Αν M, N

τα μέσα των AB, CD

, αποδεικνύεται επίσης ότι αν ένα από τα

ή

ανήκει στην

τότε και το άλλο ανήκει στη

και επίσης η

είναι παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου.

3. Αντίστροφα αν μια παράλληλη στις βάσεις τέμνει τις πλάγιες AD, BC

στα

και πάνω σ'αυτή πάρω εσωτερικά σημεία S, T

ώστε

τότε τα ζεύγη AT, BS

και

τέμνονται επί της

Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

Re: Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

Re: Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

Re: Ισεμβαδικότητα σε τραπέζιο

Μέλη σε σύνδεση