Σταυροδρόμι ευθειών

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Σταυροδρόμι ευθειών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Απρ 24, 2017 2:12 am

Καλή (σχολική ξανά) εβδομάδα σε όλους.
Τροποποίηση άλλου θέματος , που θέλει κι' εκείνο την ολοκλήρωσή του.
24-3-17 Σταυροδρόμι.PNG
24-3-17 Σταυροδρόμι.PNG (8.16 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές
Στο σχήμα τα ABCD και AEZH είναι παραλληλόγραμμα.

Να δειχθεί ότι οι BH,DE και CZ συντρέχουν.

Ευχαριστώ , Γιώργος .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4103
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Σταυροδρόμι ευθειών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Δευ Απρ 24, 2017 2:42 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλή (σχολική ξανά) εβδομάδα σε όλους. Τροποποίηση άλλου θέματος , που θέλει κι' εκείνο την ολοκλήρωσή του. Στο σχήμα τα ABCD και AEZH είναι παραλληλόγραμμα. Να δειχθεί ότι οι BH,DE και CZ συντρέχουν.
Ευχαριστώ , Γιώργος .
Σταυροδρόμι ευθειών.png
Σταυροδρόμι ευθειών.png (53.48 KiB) Προβλήθηκε 531 φορές
Αν M,N τα κέντρα των παραλληλογράμμων ABCD,AEZH τότε με M,N τα μέσα των BD,EH σύμφωνα με την πρόταση αυτή (διάσημη πλέον με ελληνικές κατά το πλείστον αποδείξεις :) . Μην λάβετε την τελευταία ισότητα της εκφώνησης υπόψη (έτσι είχα θέσει το πρόβλημα εγώ) και η γενίκευσή του οφείλεται στον καθηγητή Alexander Bogomolny) προκύπτει ότι \boxed{CQ\parallel MN}:\left( 1 \right) και με τότε με M,N τα μέσα των AZ,AC προκύπτει ότι \boxed{CZ\parallel MN}:\left( 2 \right). Από \left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow C,Z,Q συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ.1 Μια επί πλέον απόδειξη του ως άνω λήμματος \left( \ldots MN\parallel CQ \right) βρίσκεται και εδώ αλλά εκτός του φακέλου που έχει τεθεί το πρόβλημα.

Υ.Σ.2. Νομίζω Γιώργο έχω καταλάβει για ποια αναπάντητη άσκηση μιλάς (με τα εμβαδά...) που μάλλον ξεχάστηκε αλλά θα επανέλθω όταν φτάσω Ελλάδα γιατί σήμερα είναι η τελευταία μου μέρα στις Βρυξέλλες και σκέφτομαι να την απολαύσω!


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1463
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Σταυροδρόμι ευθειών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Δευ Μάιος 01, 2017 11:30 pm

Καλό μήνα σε όλους! Στάθη σ' ευχαριστώ για την λύση και βεβαίως για τον εμπλουτισμό του θέματος !
Ας υποβάλω και τη δική μου λύση :
1-5-17 Σταυροδρόμι.PNG
1-5-17 Σταυροδρόμι.PNG (8.36 KiB) Προβλήθηκε 454 φορές
Στο σχήμα θεωρούμε CI=AE\Rightarrow CI=\parallel HZ. Τότε το CIHZ είναι παρ/μο άρα IH \parallel CZ ..(1)

Ακόμη είναι BE=DI οπότε ,όπως στο θέμα Νέα παραλληλία (δημοσίευση # 5 ) παίρνουμε IH \parallel OC ..(2).
Από τις (1),(2) έπεται ότι τα O,Z,C είναι συνευθειακά.

Έθεσα το παρόν για την πλήρη κάλυψη του θέματος αυτού.. Ο Στάθης όμως με βοήθησε να ανασύρω το θέμα Αναζήτηση λόγου
που ..κρύφτηκε αναπάντητο. Τώρα όμως , δε νομίζω πως θα τη ''γλυτώσει'' για πολύ .. :) ..

Φιλικά Γιώργος


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες