Δύο παραλληλόγραμμα.

Φανης Θεοφανιδης · #1

: 567.png (5.58 KiB) Προβλήθηκε 1320 φορές

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, τα τετράπλευρα $AB\Gamma \Delta$ , $EZH\Delta$ είναι παραλληλόγραμμα
και η $\Gamma E$ διχοτόμος της γωνίας $\angle B\Gamma \Delta$ . Αν AZ=13

και

,
να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς $B\Gamma$ .

#2

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:567.png

Καλησπέρα.

Στο παραπάνω σχήμα, τα τετράπλευρα $AB\Gamma \Delta$ , $EZH\Delta$ είναι παραλληλόγραμμα
και η $\Gamma E$ διχοτόμος της γωνίας $\angle B\Gamma \Delta$ . Αν και ,
να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς $B\Gamma$ .

$ZH = ED = CD = AB = 28 = \dfrac{{\left( {BC - 28} \right) \cdot 15 + BC \cdot 13}}{{28}}$ $\Rightarrow \ldots 28BC = 28 \cdot \left( {28 + 15} \right) \Rightarrow \boxed{BC = 43}$ .

Η αποδικωποίηση της λύσης αφύνεται σαν άσκηση στον αναγνώστη

Στάθης

#3

Γιατί μια απλή λύση να την παρουσιάζουμε σαν γρίφο;

: Δύο παραλληλόγραμμα.png (20.69 KiB) Προβλήθηκε 1268 φορές

Από το τραπέζιο AECB

έχω:

$\boxed{\frac{{ZH - AE}}{{BC - ZH}} = \frac{{AZ}}{{ZB}} \Rightarrow \frac{{28 - AE}}{{AE}} = \frac{{13}}{{18}} \Rightarrow AE = 15 \Rightarrow u = BC = 43}$

#4

Doloros έγραψε:Γιατί μια απλή λύση να την παρουσιάζουμε σαν γρίφο;...

Για το σπουδαίο αυτό Λήμμα Νίκο, που πρέπει να έχουν υπόψιν όσοι ασχολούνται με γεωμετρία

: Λήμμα σε τραπέζιο.png (10.96 KiB) Προβλήθηκε 1243 φορές

Σε «τραπέζιο» $ABCD\left( AB\parallel CD \right)$ είναι $EZ\parallel AB\parallel AC,E\in AD,Z\in BC$ και . Τότε ισχύει: $\boxed{EZ = \frac{{nAB + mDC}}{{n + m}}}$

Φανης Θεοφανιδης · #5

: 567.png (10.47 KiB) Προβλήθηκε 1192 φορές

'Εστω $\angle B\Gamma E=\angle E\Gamma \Delta =\theta , P\equiv \Gamma E\cap BA$ και $AE=\alpha$ .
Προφανώς $\angle \Delta E\Gamma =\angle AEP=\angle EPA=\theta$ .
Οπότε $ZH=E\Delta =\Delta \Gamma =AB=28$ και $AP=\alpha$ .
Είναι $\triangle PAE\sim \triangle PZH\Rightarrow \alpha =15$ .
Συνεπώς $A\Delta =43\Rightarrow B\Gamma =43$ .

KARKAR · #6

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Doloros έγραψε:Γιατί μια απλή λύση να την παρουσιάζουμε σαν γρίφο;...
Για το σπουδαίο αυτό Λήμμα Νίκο, που πρέπει να έχουν υπόψιν όσοι ασχολούνται με γεωμετρία

Είμαι σχεδόν βέβαιος , ότι ο Νίκος έχει αναρτήσει απόδειξη του αναφερόμενου λήμματος

και σίγουρα το έχει χρησιμοποιήσει σε λύσεις σε θέματα με τραπέζια . Δεν βρήκα το στα

θέματά μου , βρήκα όμως μια σχετική διαπίστωση , εδώ .

p_gianno · #7

: Δύο παραλληλόγραμμα.png (18.92 KiB) Προβλήθηκε 1151 φορές

Είναι $\dfrac{BZ}{ZA}=\dfrac{15}{13}=\dfrac{KH}{HD}=\dfrac{KC}{CD}$ (Θεώρημα εσωτερικής διχ/μου)

Συνεπώς $KC=\dfrac{15}{13} \cdot CD=\dfrac{15}{13} \cdot 28$ (1)

ED=CD=BA=28

(2) αφού $C \hat E D=E \hat C K=E \hat C D$

$\triangle ZAE \sim \triangle DCK επειδή (\hat Z=\hat D, \hat A=\hat C)$

Επομένως από την ομοιότητα και λαμβάνοντας υπόψη τις (1),(2) έχουμε

$\dfrac{AE}{CK}=\dfrac{ZA}{DC}$ ή $AE=\dfrac{ZA}{DC} \cdot CK=\dfrac{13}{28} \cdot \dfrac{15}{13} \cdot 28=15$

Οπότε BC=AD=15+28=43

Δύο παραλληλόγραμμα.

Δύο παραλληλόγραμμα.

Re: Δύο παραλληλόγραμμα.

Re: Δύο παραλληλόγραμμα.

Re: Δύο παραλληλόγραμμα.

Re: Δύο παραλληλόγραμμα.

Re: Δύο παραλληλόγραμμα.

Re: Δύο παραλληλόγραμμα.

Μέλη σε σύνδεση