Σχέση εμβαδών
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Σχέση εμβαδών
Δίδεται τετράγωνο, ημικύκλιο και εφαπτομένη του ημικυκλίου. Να δειχθεί ότι
Λέξεις Κλειδιά:
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Σχέση εμβαδών
Καλημέρα και καλό Πάσχα σε όλους. Χαιρετώ τον αγαπητό Παναγιώτη, έναν από τους ιδρυτές του .
Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο τοποθετήσαμε το ημικύκλιο και τα σημεία .
H είναι η πολική(*) του , οπότε . Άρα .
Επίσης το είναι το ένα από τα δύο σημεία τομής της με το ημικύκλιο, άρα .
Οπότε και .
Άρα , αφού .
(*) Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της πολικής ("εκτός ύλης", όταν το σημείο είναι εκτός ή εντός του κύκλου), μπορούμε με σύστημα να προδιορίσουμε το και την εξίσωση της .
Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο τοποθετήσαμε το ημικύκλιο και τα σημεία .
H είναι η πολική(*) του , οπότε . Άρα .
Επίσης το είναι το ένα από τα δύο σημεία τομής της με το ημικύκλιο, άρα .
Οπότε και .
Άρα , αφού .
(*) Αν δεν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε την έννοια της πολικής ("εκτός ύλης", όταν το σημείο είναι εκτός ή εντός του κύκλου), μπορούμε με σύστημα να προδιορίσουμε το και την εξίσωση της .
Re: Σχέση εμβαδών
Έστω το κέντρο του ημικυκλίου και η προβολή του στη . Ας πούμε
το σημείο τομής των .
Τα ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν τις γωνίες στις κορυφές
τους , ίσες ( κάθετες πλευρές) . Αν λοιπόν
Επίσης το ύψος του
είναι αφού
Είναι τώρα
το σημείο τομής των .
Τα ισοσκελή τρίγωνα είναι όμοια γιατί έχουν τις γωνίες στις κορυφές
τους , ίσες ( κάθετες πλευρές) . Αν λοιπόν
Επίσης το ύψος του
είναι αφού
Είναι τώρα
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Απρ 14, 2017 11:56 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Σχέση εμβαδών
Ο κύκλος περνά από τα και οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες(υπό χορδής-εφαπτόμενης) όπως και οι μπλεp_gianno έγραψε:Δίδεται τετράγωνο, ημικύκλιο και εφαπτομένη του ημικυκλίου. Να δειχθεί ότι
Έτσι
.Άρα
-
- Δημοσιεύσεις: 1419
- Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm
Re: Σχέση εμβαδών
Από το Π.Θ. στο έχω .
Από την ομοιότητα των τριγώνων και παίρνω .
Από το Π.Θ. στο προκύπτει .
Από το θεώρημα του Πτολεμαίου στο παίρνω .
Όμως (βαίνει σε τεταρτοκύκλιο).
Τέλος από τον τύπο
.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Σχέση εμβαδών
Προφανώς είναι η πολική του ως προς τον αρμονική σειρά , με οπότε και η δέσμη είναι αρμονική και με το μέσο της .p_gianno έγραψε:Δίδεται τετράγωνο, ημικύκλιο και εφαπτομένη του ημικυκλίου. Να δειχθεί ότι
[attachment=0]Σχέση εμβαδών.png[/attachment]
Ο κύκλος εφάπτεται της στο και άρα η διέρχεται από τον «νότιο» πόλο του το μέσο της
και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Στάθης
- Συνημμένα
-
- Σχέση εμβαδών.png (24.07 KiB) Προβλήθηκε 851 φορές
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13278
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Σχέση εμβαδών
Καλησπέρα σε όλους!p_gianno έγραψε:Δίδεται τετράγωνο, ημικύκλιο και εφαπτομένη του ημικυκλίου. Να δειχθεί ότι
Έστω το μέσο του και η πλευρά του τετραγώνου. Τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια(οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, ως οξείες με πλευρές κάθετες). Άρα:
Θέτω και από Π. Θ παίρνω
Στη συνέχεια με θεώρημα διαμέσων στο βρίσκω Τέλος, χρησιμοποιώ το τύπο
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Σχέση εμβαδών
Χαιρετώ τους φίλους! Απόp_gianno έγραψε:Δίδεται τετράγωνο, ημικύκλιο και εφαπτομένη του ημικυκλίου. Να δειχθεί ότι
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Σχέση εμβαδών
Μιχάλης Νάννος έγραψε:Χαιρετώ τους φίλους!Σχέση-εμβαδών.pngp_gianno έγραψε:Δίδεται τετράγωνο, ημικύκλιο και εφαπτομένη του ημικυκλίου. Να δειχθεί ότι
Από
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 21 επισκέπτες