Τετράπλευρο 5.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Τετράπλευρο 5.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 09, 2017 11:35 pm

999.png
999.png (6.7 KiB) Προβλήθηκε 542 φορές
Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=2 και \Gamma \Delta =3.
Αποδείξτε ότι \theta =30^{0}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1923
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τετράπλευρο 5.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Κυρ Απρ 09, 2017 11:44 pm

Την καλησπέρα μου με μια τριγωνομετρική:

\displaystyle{\left. \begin{array}{l} 
\eta \mu 2\theta  = \frac{{\Gamma \Delta }}{{{\rm B}\Delta }}\\ 
\varepsilon \varphi \theta  = \frac{{{\rm A}{\rm B}}}{{{\rm B}\Delta }} 
\end{array} \right\} \Rightarrow \frac{{\eta \mu 2\theta }}{{\varepsilon \varphi \theta }} = \frac{{\Gamma \Delta }}{{{\rm A}{\rm B}}} \Rightarrow 2\sigma \upsilon {\nu ^2}\theta  = \frac{3}{2} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu \theta  = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \theta  = {30^o}}


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράπλευρο 5.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 09, 2017 11:56 pm

Η άσκηση έχει και ωραία γεωμετρική λύση.


Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1923
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Τετράπλευρο 5.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Christos.N » Δευ Απρ 10, 2017 12:05 am

Ναι με ύλη Α' Λυκείου

\displaystyle{\begin{array}{l} 
\left( \varepsilon  \right)//{\rm A}\Delta  \Rightarrow \angle {\rm A}\Delta {\rm B} = \angle {\rm Z}{\rm B}\Delta  = \angle \Gamma {\rm B}{\rm Z} = \theta \\ 
\\ 
\left. \begin{array}{l} 
{\rm B}\Gamma {\rm Z} \Rightarrow \angle \Gamma {\rm Z}{\rm B} = {90^o} - \theta \\ 
{\rm A}{\rm B}\Delta  \Rightarrow \angle {\rm B}{\rm A}\Delta  = {90^o} - \theta  
\end{array} \right\} \Rightarrow \angle \Gamma {\rm Z}{\rm B} = \angle {\rm B}{\rm A}\Delta \\ 
\\ 
\left( \varepsilon  \right)//{\rm A}\Delta  \Rightarrow \angle {\rm O}{\rm Z}{\rm B} = \angle {\rm Z}\Delta {\rm A} \Rightarrow \angle {\rm Z}\Delta {\rm B} = \theta  \Rightarrow {\rm Z}{\rm B}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \delta \iota \chi o\tau \mu o\varsigma {\kern 1pt} \kappa \alpha \iota {\kern 1pt} {\kern 1pt} \psi o\varsigma  \Rightarrow \\ 
\\ 
 \Rightarrow {\rm A}\Delta {\rm O}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \iota \sigma o\sigma \kappa \varepsilon \lambda \varsigma  \Rightarrow {\rm A}\Delta {\rm O}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \iota \sigma o\pi \lambda \varepsilon \upsilon \rho o \Rightarrow \\ 
\\ 
 \Rightarrow 2\theta  = {60^o} \Rightarrow \theta  = {30^o} 
\end{array}}
Καταγραφή.PNG
Καταγραφή.PNG (18.84 KiB) Προβλήθηκε 507 φορές
τελευταία επεξεργασία από Christos.N σε Δευ Απρ 10, 2017 12:27 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Re: Τετράπλευρο 5.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Δευ Απρ 10, 2017 12:10 am

Αλλά και με ύλη Β' Λυκείου .


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1654
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τετράπλευρο 5.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Απρ 10, 2017 1:01 am

Έστω BK \perp AD και M μέσο της AD.

Προφανώς, BM=\dfrac{AD}{2}.

Από τα όμοια AKB,ADB είναι \dfrac{BK}{BD}=\dfrac{AB}{AD} \Leftrightarrow \boxed{BK=\dfrac{2BD}{AD}, \, (1)}}

Τότε, \widehat{KMB}=\widehat{MBD}+\widehat{MDB}=2\theta=\widehat{CBD} \Leftrightarrow \widehat{KMB}=\widehat{CBD}.

Ακόμη, \widehat{BKM}=\widehat{BCD}=90^0, άρα τα KMB, \, BCD είναι όμοια.

Έτσι, \displaystyle \dfrac{BK}{CD}=\dfrac{BM}{BD} \Leftrightarrow \dfrac{BK}{3}=\dfrac{AD}{2BD} \Leftrightarrow

BK=\dfrac{3AD}{2BD} \mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} \dfrac{2BD}{AD}=\dfrac{3AD}{2BD} \Leftrightarrow \dfrac{BD}{AD}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

Όμως, \sin \widehat{BAD}=\sin {90-\theta}=\cos \theta=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \boxed{\theta=30^0}.
orestis.png
orestis.png (15.11 KiB) Προβλήθηκε 493 φορές
Edit: Τυπογραφικό
τελευταία επεξεργασία από Ορέστης Λιγνός σε Δευ Απρ 10, 2017 9:12 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Σταμ. Γλάρος
Δημοσιεύσεις: 356
Εγγραφή: Δευ Ιουν 18, 2012 1:51 pm

Re: Τετράπλευρο 5.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σταμ. Γλάρος » Δευ Απρ 10, 2017 1:59 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:999.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=2 και \Gamma \Delta =3.
Αποδείξτε ότι \theta =30^{0}.
Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
Τετράπλευρο 5.png
Τετράπλευρο 5.png (72.58 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές
Φέρω BE : διχοτόμο της \widehat{\Gamma B\Delta }. Ισχύει \widehat{EB\Delta }=\widehat{B\Delta A}=\theta .
Άρα οι BE , A\Delta είναι παράλληλες , συνεπώς BE \Delta  A : τραπέζιο.
Επίσης \widehat{\Gamma EB}=90^o-\theta \Rightarrow \widehat{BE\Delta }=180^o-(90^o-\theta )=90^o+\theta =\widehat{EBA} .
Επομένως BE \Delta  A : ισοσκελές τραπέζιο.
Άρα AB=E\Delta =2 και \Gamma E=1.
Τώρα από θεώρημα διχοτόμων στο τρίγωνο \Gamma B \Delta έχουμε : \dfrac{B\Gamma }{B\Delta }= \dfrac{\Gamma E}{E\Delta }= \dfrac{1}{2}, από όπου προκύπτει B\Gamma = \dfrac{B\Delta }{2}.

Συνεπώς στο ορθογώνιο τρίγωνο \Gamma \Delta B η γωνία \widehat{\Gamma \Delta B}= 30^o.
Άρα και 2 \theta = 60^o, δηλαδή \theta = 30^o .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3314
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Τετράπλευρο 5.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Δευ Απρ 10, 2017 8:37 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=2 και \Gamma \Delta =3.
Αποδείξτε ότι \theta =30^{0}.
Καλημέρα και καλή Ανάσταση!
Τετράπλευρο-5.png
Τετράπλευρο-5.png (16.56 KiB) Προβλήθηκε 464 φορές
Κατασκευάζουμε το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο {\rm B}\Gamma \Delta {\rm E} και έστω {\rm Z} \equiv {\rm A}\Delta  \cap {\rm B}{\rm E}

Το \triangleleft {\rm B}{\rm A}{\rm Z} είναι ισοσκελές και από θεώρημα διχοτόμων {\rm B}\Delta  = 2\Delta {\rm E} = 2x, οπότε {90^ \circ } - 2\theta  = {30^ \circ } \Leftrightarrow \theta  = {30^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τετράπλευρο 5.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 10, 2017 11:09 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:999.png

Στο παραπάνω σχήμα είναι AB=2 και \Gamma \Delta =3.
Αποδείξτε ότι \theta =30^{0}.
Καλημέρα σε όλους!
Τετράπλευρο.5.png
Τετράπλευρο.5.png (14.83 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές
Έστω ότι η CB τέμνει την DA στο E, C\widehat DB=\varphi και H η προβολή του B στην AD. Επειδή 2\theta+\varphi=90^0, οι γωνίες που

φαίνονται στο σχήμα είναι προφανείς. Από την ομοιότητα των τριγώνων ABD, DCE παίρνουμε: \displaystyle{\frac{{AD}}{{DE}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow AD = 2AE = 2x}

και αφού το τρίγωνο BED είναι ισοσκελές, θα είναι: \displaystyle{EH = HD = \frac{{3x}}{2} \Rightarrow AH = \frac{x}{2}}

\displaystyle{A{B^2} = AH \cdot AD \Leftrightarrow 4 = {x^2} \Leftrightarrow AD = 4 = 2AB \Leftrightarrow } \boxed{\theta=30^0}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης