Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Φανης Θεοφανιδης
Δημοσιεύσεις: 1227
Εγγραφή: Παρ Απρ 10, 2015 9:04 pm

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φανης Θεοφανιδης » Κυρ Απρ 09, 2017 1:13 am

444.png
444.png (6.09 KiB) Προβλήθηκε 546 φορές
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta με την διαγώνιό του A\Gamma
να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν E\equiv B\Gamma \cap A\Delta , AB=2B\Gamma και
A\Delta =3\Delta \Gamma , να δείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο της BE.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12471
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 09, 2017 7:36 am

TEO.png
TEO.png (12.99 KiB) Προβλήθηκε 532 φορές
Μία απλή λύση , αλλά με Άλγεβρα Β' , είναι η εξής : tanA=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}3}}=1

δηλαδή \hat{A}=45^0 , οπότε BE=2x , ό. έ. δ.


Άβαταρ μέλους
Μιχάλης Νάννος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3314
Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
Τοποθεσία: Σαλαμίνα
Επικοινωνία:

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Νάννος » Κυρ Απρ 09, 2017 8:27 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:
Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta με την διαγώνιό του A\Gamma
να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν E\equiv B\Gamma \cap A\Delta , AB=2B\Gamma και
A\Delta =3\Delta \Gamma , να δείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο της BE.
Καλημέρα.
Εγγεγραμμένο-τετράπλευρο.png
Εγγεγραμμένο-τετράπλευρο.png (21.59 KiB) Προβλήθηκε 526 φορές
Από Π.Θ: {y^2} + {(2y)^2}\mathop  = \limits^{{\rm A}{\Gamma ^2}} {x^2} + {(3x)^2} \Leftrightarrow y = x\sqrt 2

Από θεώρημα Πτολεμαίου στο εγγράψιμο {\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta : {\rm B}\Delta  = x\sqrt 5

και από νόμο συνημιτόνων στο \triangleleft {\rm A}{\rm B}\Delta :\sigma \upsilon \nu \widehat {\rm A} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \widehat {\rm A} = {45^ \circ }


«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10378
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Απρ 09, 2017 11:08 am

Φανης Θεοφανιδης έγραψε:444.png

Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta με την διαγώνιό του A\Gamma
να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν E\equiv B\Gamma \cap A\Delta , AB=2B\Gamma και
A\Delta =3\Delta \Gamma , να δείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο της BE.
Καλημέρα σε όλους!

Έστω CD=x, CE=y
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.png
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.png (12.26 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές
Από Π. Θ στα ADC, ABC: \displaystyle{10{x^2} = A{C^2} = 5B{C^2} \Leftrightarrow } \boxed{BC=x\sqrt 2}

\displaystyle{ED \cdot EA = EC \cdot EB \Leftrightarrow 7{y^2} - 2xy\sqrt 2  - 10{x^2} = 0\mathop  \Leftrightarrow \limits^{y > 0} } \boxed{y=x\sqrt 2}


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4101
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Λ. Αιδηψού Ευβοίας

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Απρ 09, 2017 12:35 pm

Φανης Θεοφανιδης έγραψε: Δίνεται το εγγεγραμμένο τετράπλευρο AB\Gamma \Delta με την διαγώνιό του A\Gamma να είναι διάμετρος του κύκλου. Αν E\equiv B\Gamma \cap A\Delta , AB=2B\Gamma και A\Delta =3\Delta \Gamma , να δείξετε ότι το \Gamma είναι μέσο της BE.
Για μια καλημέρα στους εκλεκτούς φίλους (από τις μακρυνές Βρυξέλλες) που "φυλάνε Θερμοπύλες" στο :logo: ακόμα και στις γιορτές!!!
2.png
2.png (22.37 KiB) Προβλήθηκε 479 φορές
Αν F,Q είναι οι ορθές προβολές των B,D στην AC αντίστοιχα , τότε από τα ορθογώνια τρίγωνα

\vartriangle ABC,\vartriangle ADC \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  \frac{{CQ}}{{QA}} = \frac{{C{D^2}}}{{A{D^2}}} = \frac{1}{9} \Rightarrow \frac{{CQ}}{{AC}} = \frac{1}{\begin{gathered} 
  10 \hfill \\  
\end{gathered} } \\  
  \frac{{FC}}{{FA}} = \frac{{B{C^2}}}{{A{B^2}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{CQ}}{{AC}} = \frac{1}{\begin{gathered} 
  5 \hfill \\  
\end{gathered} } \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow Q το μέσο της FC και με DQ\parallel BF (κάθετες στην ίδια ευθεία) θα είναι

M\equiv DQ\cap BC το μέσο της BC \Rightarrow OM \bot BC \Rightarrow OM\parallel AB \Rightarrow \vartriangle OQM \sim \vartriangle ABC \Rightarrow OQ = 2MQ\mathop  = \limits^{\vartriangle BCF} BF\mathop  \Rightarrow \limits^{OD = OB = {R_o}}

\vartriangle OFB = \vartriangle OQD \Rightarrow  \ldots OB \bot OD \mathop  \Rightarrow \limits^{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta  - \varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta } \angle BAE = {45^0} \Rightarrow  \ldots C το μέσο της BE και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.


Στάθης


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7839
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Εγγεγραμμένο τετράπλευρο.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Απρ 10, 2017 10:42 am

Εγγεγραμμένο τετράπλευρο _κατσκευή_1.png
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο _κατσκευή_1.png (17.1 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές
Σε ημικύκλιο διαμέτρου AC και κέντρου O θεωρώ σημείο B τέτοιο ώστε:

AB = 2BC. Αν M το μέσο του AB και η ευθεία CM τέμνει , ακόμα, το ημικύκλιο

στο P , είναι φανερό ότι τα τρίγωνα BMC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PAM είναι ισοσκελή ορθογώνια .

Αν τώρα K το μέσο του MC τα ορθογώνια τρίγωνα KBM\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PAM έχουν

MB = MA και τις οξείες γωνίες τους στο M ίσες ( από 45^\circ) και θα είναι ίσα οπότε :

KM = PM με άμεση συνέπεια , AP = PM = MK = KC\,\,(1)

Γράφω τώρα το υπόλοιπο ημικύκλιο και έστω D το αντιδιαμετρικό του P .
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο _κατσκευή_2.png
Εγγεγραμμένο τετράπλευρο _κατσκευή_2.png (27.34 KiB) Προβλήθηκε 423 φορές


ΟΙ ευθείες AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC τέμνονται στο E τα ορθογώνια τρίγωνα PAC\,\,DAC είναι

ίσα , οπότε AD = 3DC , Επειδή δε MC//AE και το M μέσο του BA θα είναι και

το Cμέσο του BE , δηλαδή BC = CE.

Παρατήρηση : Η λύση πήρε μάκρος στην προσπάθεια μου να αποφύγω μετρικές

σχέσεις . Αλλά η αρχική κατασκευή ( π.χ. με κύκλο του Απολλώνιου ή αλλιώς)

απαιτεί σαφώς χρήση μετρικών σχέσεων για να τεκμηριωθεί .


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης