mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 31, 2017 8:28 pm**

Έστω τα παράλληλα επίπεδα $\displaystyle{{\pi _1},{\pi _2}}$ , στο επίπεδο $\displaystyle{{\pi _2}}$ θεωρούμε τα μη συνευθειακά σημεία $\[{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ καθώς και τα αντίστοιχα μέσα $\displaystyle{{\rm K},{\rm M}}$ των $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ . Αν το σημείο $\displaystyle{\Delta }$ ανήκει στο επίπεδο $\displaystyle{{\pi _2}$ και το σημείο $\[{\rm N}}$ είναι το μέσον του τμήματος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ .

: Καταγραφή.PNG (14.66 KiB) Προβλήθηκε 1229 φορές

α. Να αποδειχθεί ότι το επίπεδο $\displaystyle{\left( {{\rm K},{\rm M},{\rm N}} \right)}$ είναι παράλληλο στο επίπεδο $\displaystyle{\left( {{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right)}$

β. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία που ανήκει το τμήμα $\displaystyle{{\rm N}{\rm K}}$ είναι ασύμβατη της ευθείας που ανήκει το τμήμα $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .

Παρακαλώ πάρα πολύ τα "παιδάκια" του

που κάποτε συνάντησαν πριν το (11110111011)_2

τέτοιες ασκήσεις στο σχολείο τους είτε στα μαθήματα τους να αφιερώσουν λίγο χρόνο. Επίσης για εμάς τους γεννημένους μετά την προαναφερόμενη έχουμε να σας πούμε ότι σας αφιερώνουμε τους πρώτους τέσσερις στίχους ....

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 31, 2017 10:56 pm**

Φαντάζομαι ότι:

α)

Η NK // BD

αφού ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου ABD

. Ομοίως

και

. Αφού

τεμνόμενες ευθείες ορίζουν ένα επίπεδο, άρα το τρίγωνο KMN

θα βρίσκεται σε επίπεδο που θα είναι παράλληλο στο επίπεδο στο οποίο βρίσκεται το τρίγωνο BCD

και το ζητούμενο έπεται.

β)

1) Αφού η ευθεία

βρίσκεται σε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο που βρίσκεται η ευθεία

, άρα αυτές οι ευθείες δεν τέμνονται.

2) Αφού NK//BD

και η

δεν είναι παράλληλη στην

, άρα και η

δεν είναι παράλληλη στην

.

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι ευθείες

και

είναι ασύμβατες.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 31, 2017 11:11 pm**

Christos.N έγραψε:Έστω τα παράλληλα επίπεδα $\displaystyle{{\pi _1},{\pi _2}}$ , στο επίπεδο $\displaystyle{{\pi _2}}$ θεωρούμε τα μη συνευθειακά σημεία $\[{\rm A},{\rm B},\Gamma }$ καθώς και τα αντίστοιχα μέσα $\displaystyle{{\rm K},{\rm M}}$ των $\displaystyle{{\rm A}{\rm B},{\rm A}\Gamma }$ . Αν το σημείο $\displaystyle{\Delta }$ ανήκει στο επίπεδο $\displaystyle{{\pi _2}$ και το σημείο $\[{\rm N}}$ είναι το μέσον του τμήματος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ .

Καταγραφή.PNG

α. Να αποδειχθεί ότι το επίπεδο $\displaystyle{\left( {{\rm K},{\rm M},{\rm N}} \right)}$ είναι παράλληλο στο επίπεδο $\displaystyle{\left( {{\rm B},\Gamma ,\Delta } \right)}$

β. Να αποδειχθεί ότι η ευθεία που ανήκει το τμήμα $\displaystyle{{\rm N}{\rm K}}$ είναι ασύμβατη της ευθείας που ανήκει το τμήμα $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ .

Παρακαλώ πάρα πολύ τα "παιδάκια" του που κάποτε συνάντησαν πριν το τέτοιες ασκήσεις στο σχολείο τους είτε στα μαθήματα τους να αφιερώσουν λίγο χρόνο. Επίσης για εμάς τους γεννημένους μετά την προαναφερόμενη έχουμε να σας πούμε ότι σας αφιερώνουμε τους πρώτους τέσσερις στίχους ....

Χρήστο το επίπεδο $\left( {{\pi _1}} \right)$ είναι «άχρηστο» . Αρκεί το σημείο $\Delta \notin \left( {{\pi _2}} \right)$ .

α) Στο τρίγωνο $\left\{ \begin{gathered} \vartriangle {\rm A}\Delta {\rm B}\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm N},{\rm K}\;\mu \varepsilon \sigma \alpha \;\tau \omega \nu \;{\rm A}\Delta ,{\rm A}{\rm B}} {\rm N}{\rm K}\parallel \Delta {\rm B} \hfill \\ \vartriangle {\rm A}\Delta \Gamma \mathop \Rightarrow \limits^{{\rm N},{\rm M}\;\mu \varepsilon \sigma \alpha \;\tau \omega \nu \;{\rm A}\Delta ,{\rm A}\Gamma } {\rm N}{\rm M}\parallel \Delta \Gamma \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow$ $\boxed{\left( {{\rm K},{\rm M},{\rm N}} \right)\parallel \left( {\Delta ,{\rm B},\Gamma } \right)}$ (αν δύο τεμνόμενες ευθείες ενός επιπέδου είναι αντίστοιχα παράλληλες προς δύο τεμνόμενες ευθείες ενός άλλου επιπέδου τότε τα επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους)

β) Αν ${\rm M}{\rm N}$ δεν είναι ασύμβατη με την ${\rm B}\Gamma$ θα είναι συνεπίπεδη με αυτή και ας είναι $\left( \pi \right) \equiv \left( {{\rm N}{\rm K},{\rm B}\Gamma } \right)$ .

Αλλά $\left\{ \begin{gathered} {\rm N}{\rm K} \in \left( {{\rm A},{\rm B},\Delta } \right) \\ {\rm B}\Gamma \in \left( {\Gamma ,{\rm B},\Delta } \right) \\ \end{gathered} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{{\rm N}{\rm K},{\rm B}\Gamma \in \left( \pi \right)} {\rm B}\Delta \in \left( \pi \right) \equiv$ $\left( {{\rm A},{\rm B},\Delta } \right) \equiv \left( {\Gamma ,{\rm B},\Delta } \right) \Rightarrow {\rm A}{\rm B} \equiv {\rm A}\Gamma \Rightarrow {\rm A},{\rm B},\Gamma$ συνευθειακά πράγμα άτοπο από την εκφώνηση του προβλήματος

Στάθης

Υ.Σ. Ευχαριστούμε για την αφιέρωση του όμορφου τραγουδιού και σου εύχομαι καλά γεράματα!!

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 31, 2017 11:32 pm**

Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: β)

Αφού η ευθεία βρίσκεται σε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο που βρίσκεται η ευθεία , άρα αυτές οι ευθείες είναι ασύμβατες.

Δεν είναι σωστό αυτό. Για παράδειγμα τέσσερις παράλληλες ακμές ενός κύβου βρίσκονται ανά ζεύγη σε παράλληλα επίπεδα αλλά δεν είναι ασύμβατες.

Για το παραπάνω, πρέπει να δείξουμε ακόμη ότι οι $NK, \, B\Gamma$ δεν είναι συνεπίπεδες.

Εξετάζουμε το επίπεδο $\pi$ που ορίζουν οι παράλληλες $NK, \, BD$ . Οι

και $B\Gamma$ δεν βρίσκονται σε κοινό επίπεδο διότι θα είχε με το $\pi$ τρία κοινά σημεία (τα N,K,B

) οπότε θα συνέπιπτε με αυτό. Αλλά τότε η $B\Gamma$ που τέμνει την

θα έτεμνε και την παράλληλή της

. Άτοπο γιατί η

βρίσκεται σε επίπεδο παράλληλο προς το $DB\Gamma$ .

Edit: Με πρόλαβε ο Στάθης. Έχω εξοργιστικά αργή σύνδεση σήμερα και δεν είδα την απάντησή του.

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Μαρ 31, 2017 11:48 pm**

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: β)

Αφού η ευθεία βρίσκεται σε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο που βρίσκεται η ευθεία , άρα αυτές οι ευθείες είναι ασύμβατες.
Δεν είναι σωστό αυτό. Για παράδειγμα τέσσερις παράλληλες ακμές ενός κύβου βρίσκονται ανά ζεύγη σε παράλληλα επίπεδα αλλά δεν είναι ασύμβατες.

Για το παραπάνω, πρέπει να δείξουμε ακόμη ότι οι $NK, \, B\Gamma$ δεν είναι συνεπίπεδες.

Εξετάζουμε το επίπεδο $\pi$ που ορίζουν οι παράλληλες $NK, \, BD$ . Οι και $B\Gamma$ δεν βρίσκονται σε κοινό επίπεδο διότι θα είχε με το $\pi$ τρία κοινά σημεία (τα ) οπότε θα συνέπιπτε με αυτό. Αλλά τότε η $B\Gamma$ που τέμνει την θα έτεμνε και την παράλληλή της . Άτοπο γιατί η βρίσκεται σε επίπεδο παράλληλο προς το $DB\Gamma$ .

Edit: Με πρόλαβε ο Στάθης. Έχω εξοργιστικά αργή σύνδεση σήμερα και δεν είδα την απάντησή του.

Κύριε Λάμπρου το είχα δει αυτό που λέτε και ήδη το είχα αλλάξει. Μπορείτε να ελέγξετε αν έτσι όπως το θέτω πλέον είναι εντάξει;

mathematica.gr

Σχετικά με τις ασύμβατες ευθείες (τα φώτα σας)

Σχετικά με τις ασύμβατες ευθείες (τα φώτα σας)

Re: Σχετικά με τις ασύμβατες ευθείες (τα φώτα σας)

Re: Σχετικά με τις ασύμβατες ευθείες (τα φώτα σας)

Re: Σχετικά με τις ασύμβατες ευθείες (τα φώτα σας)

Re: Σχετικά με τις ασύμβατες ευθείες (τα φώτα σας)