Ακτίνα ίση με διάμετρο !

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1214
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Ακτίνα ίση με διάμετρο !

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Σάβ Ιαν 21, 2017 2:06 am

Καλημέρα σε όλους. Να ευχηθώ από εδώ (με καθυστέρηση λόγω απουσίας )
τα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους εορτάζοντες του 2-ημέρου 17 και 18/1..
Ακτίνα ίση με διάμετρο !.PNG
Ακτίνα ίση με διάμετρο !.PNG (10.59 KiB) Προβλήθηκε 437 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο και O το περίκεντρό του.

Θεωρούμε τα σημεία E,K των πλευρών AB,AC αντίστοιχα, ώστε να είναι \widehat{EOK}=60^{0}

Αν η ακτίνα του έγκυκλου του τριγώνου BOC είναι ίση με την διάμετρο του έγκυκλου του τριγώνου AEK τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( AEK \right )}.

Ευχαριστώ , Γιώργος.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8970
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακτίνα ίση με διάμετρο !

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 21, 2017 12:16 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλημέρα σε όλους. Να ευχηθώ από εδώ (με καθυστέρηση λόγω απουσίας )
τα ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ στους εορτάζοντες του 2-ημέρου 17 και 18/1..
Ακτίνα ίση με διάμετρο !.PNG
Το τρίγωνο ABC είναι ισόπλευρο και O το περίκεντρό του.

Θεωρούμε τα σημεία E,K των πλευρών AB,AC αντίστοιχα, ώστε να είναι \widehat{EOK}=60^{0}

Αν η ακτίνα του έγκυκλου του τριγώνου BOC είναι ίση με την διάμετρο του έγκυκλου του τριγώνου AEK τότε

Να υπολογιστεί ο λόγος \dfrac{\left ( BAC \right )}{\left ( AEK \right )}.

Ευχαριστώ , Γιώργος.
Καλημέρα Γιώργο!

Ωραία άσκηση! Αν είναι δικής σου κατασκευής, συγχαρητήρια!
Ακτίνα ίση με διάμετρο.png
Ακτίνα ίση με διάμετρο.png (20.39 KiB) Προβλήθηκε 393 φορές
Κατασκευή του EK: Γράφω τον εγγεγραμμένο κύκλο του ισοπλεύρου και σ' ένα σημείο του τόξου \overset\frown{MN}( M, N τα σημεία επαφής του με τις AB, AC) φέρνω την εφαπτομένη που τέμνει τις AB, AC στα ζητούμενα σημεία E, K. Πράγματι, επειδή το EKCB είναι περιγεγραμμένο, οι διχοτόμοι του διέρχονται από το ίδιο σημείο O, οπότε E\widehat OK=60^0.

Αν a είναι η πλευρά του ισοπλεύρου και \rho η ακτίνα του έγκυκλου του BOC, τότε επειδή ο κύκλος (O) είναι ο A-παρεγγεγραμμένος

κύκλος του τριγώνου AEK, το τρίγωνο θα έχει ημιπερίμετρο \displaystyle{AM=\frac{a}{2}} και εμβαδόν \boxed{(AEK) = \frac{{a\rho }}{4}} Αρκεί λοιπόν να βρω την ακτίνα \rho.

\displaystyle{(BOC) = \frac{1}{2}BO \cdot BC\sin {30^0} = \frac{1}{2}(BO + OC + BC)\rho \mathop  \Leftrightarrow \limits^{BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}} } \displaystyle{\rho  = \frac{{a\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{2}}

Επομένως: \displaystyle{\frac{{(BAC)}}{{(AEK)}} = \frac{{\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{{{a^2}\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}}{8}}} \Leftrightarrow } \boxed{\frac{{(BAC)}}{{(AEK)}} = 6 + 4\sqrt 3 }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8970
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ακτίνα ίση με διάμετρο !

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Ιαν 22, 2017 12:30 pm

Για την ολοκλήρωση της κατασκευής του τμήματος EK.
Ακτίνα ίση με διάμετρο.b.png
Ακτίνα ίση με διάμετρο.b.png (12.58 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές
Απομονώνω από το σχήμα της προηγούμενης ανάρτησής μου το κομμάτι AMON. Αφού η ακτίνα του μικρού κύκλου είναι \displaystyle{\frac{\rho}{2}}, τότε θα είναι AL=\rho, οπότε ο κύκλος \displaystyle{\left( {L,\frac{\rho }{2}} \right)} κατασκευάζεται. Στη συνέχεια κατασκευάζω τις δύο κοινές εσωτερικές εφαπτόμενες των κύκλων \displaystyle{\left( {O,\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right),\left( {L,\frac{\rho }{2}} \right)}, που ορίζουν πάνω στις AM, AN τα ζητούμενα σημεία E, E' και K, K' αντίστοιχα.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης